WisFaq!

1e orde DV vd 2e graad

ik heb een dif.verg. in de vorm van:
xy'= y²+ y

waarbij de opgave zegt subst. u = y/x

ik maak er dus y' = (y²/x) + (y/x) van.
met y' = u'x + u - dan volgt u'x + u = yu + u

zit ik dus nog steeds met die y in mijn maag.
hoe krijg ik die weg?? wat mis ik??

uiteindelijke antwoord moet zijn y = x / ( c - x )

alvast bedankt!

Tim
3-8-2005

Antwoord

Beste Tim,

Als u = y/x dan is y = ux en y' = udx + xdu

Dan wordt xy' = y²+y:
xy' = y²+y
dy/dx = (y²+y)/x
(udx + xdu)/dx = (u²x²+ux)/x
u + xdu/dx = u²x + u
du/dx = u²
du/u² = dx

Dit laatste is uiteraard rechtstreeks te integreren, daarna u weer vervangen door y/x.

Opmerking, dit kon eigenlijk ook zonder substitutie, je kan immers direct scheiding der veranderlijken toepassen:
xdy/dx = y²+y = dy/(y²+y) = dx/x

Dan weer integreren en oplossen naar y. Je zou uiteraard hetzelfde resultaat moeten vinden!

mvg,
Tom

td
4-8-2005