WisFaq!

Verfijnde methode jacobi (= methode gauss seidel)

Hoe bereken je de verfijnde methode van jacobi ?
bv: gegeven stelsel:
8x₁ + x₂ - x₃ = 8;
2x₁ + x₂ + 9x₃ = 12;
x₁ - 7x₂ + 2x₃ = -4;

na berekening kom ik dan tot volgende corresponderende recursievergelijking:
x₁^k = (1) + ( 0 -0.125 0.125)· (x₁^[k-1])
x₂^k = (0.571) + (0.143 0 0.286)· (x₂^[k-1])
x₂^k = (1.333) + (-0.222 -0.111 0 )· (x₃^[k-1])

de benaderingen van de oplossing zijn eenvoudig te berekenen met behulp van de gewone jacobi methode:
bv: als k = 0; x₁^k = 1.000
x₂^k = 0.571
x₃^k = 1.333

de berekening voor k = 1 is dan

x₁¹ =1.00 + 0·1.000 + (-0.125)·0.571 + 0.125·1.333 = 1.095
y₁¹ = 0.571 + 0.143·1.000 + 0 + 0.286 ·1.333 = 1.095
z₁¹ = 1.333 + (-0.222)·1.000 + (-0.111)·0.571 + 0 = 1.048

en zo verder...
nu kan je de convergentie van de benaderingen verhogen door het toepassen van de verfijnde methode van jacobi, die dan gegeven wordt door de formule
[img]http://users.sky_net.be/bk327068/formule.jpg[/img]

en hier volg ik niet meer... volgens mijn cursus zijn
de nieuwe benaderingen voor k = 1(zelfde startwaarden gebruiken), dan x₁¹ =1.095
x₂¹ = 1.109
en x₃¹ = 0.967

maar kan iemand eens de bereking van deze nieuwe benaderingen geven, want ik snap niet hoe ze aan de nieuwe waarden komen
voor zover ik het begrijp moet je bij de gewone berekening van jacobi nog een bepaalde waarde bijtellen ?

tom procureur
28-7-2005

Antwoord

Tom,
Laat ik beginnen met op te merken dat je de 2de en derde vergelijking. moet verwisselen.Dan is de matrix strikt diagonaal dominant(voldoende voor convergentie).De startwaarden zijn feitelijk (0,0,0)..maar goed, jij neemt
( 1, 4/7=0,5714,12/9=1,3333).Uit de gegeven vergelijking.volgt(na verwisseling).
x(1)=(8-x(2)+x(3))/8,x(2)=(-4-x(1)-2x(3))/(-7)en x(3)=(12-2x(1)-x(2))/9.
Nu Gauss-Seidel toepassen:
x(1)=(8-0,5741+1,3333)/8=1,09525:x(2)=(-4-1,09525-2·1,3333)/(-7)=1,1088 en
x(3)=(12-2·1,09525-1,1088)/9=0,9667.
Hopelijk zo duidelijk.Groetend,

kn
29-7-2005