WisFaq!

Differentieren

In een boek wordt uitgelegd hoe je de functie berekend die gediferrentieerd dezelfde functie oplevert. Uitgegaan wordt van x = 0 en y = 1 en dan wordt via de methode om gemiddelden te berekenen steeds het volgende y-punt gevonden (y 2 - y1/h).
Voor x = 0 geldt dan Y2 - 1/h = 1
voor x = h geldt dan Y 3 - (1+h)/h = 1+h
enz.

Op deze wijze wordt gevonden dat de functie moet voldoen aan de vorm:
yn =(1+h)^n

Omdat de interesse uitgaat naar het vinden van de waarde van h, vervolgt de schrijver met:
je mag stellen dat nh = xn (waarom?)

Deze waarde subsitueert hij in de vorige formule, de formule wordt dan:
yn = (1 + h)^xn/h

De schrijver zegt:
Zo'n functie kunnen we een eenvoudiger aanzien geven als we substitueren:

Y = u^x

waarbij dan geldt

u = (1+h)^1/h

Deze laatste overgang snap ik niet

Kunt u mij helpen?

Yara
12-7-2005

Antwoord

Yara,
Als ik het goed begrijp gaat het om het oplossen van y'(x)=y(x)met randvoorwaarde y(0)=1.Neem h klein.Dan is (bij benadering)voor x=h de y coördinaat gelijk aan
y(h)=y(0)+hy'(o)=1+h,y(2h)=y(h)+hy'(h)=1+h+h(1+h)=(1+h)².
Zo voortgaande vind je dat y(nh)=(1+h)^n.
Neem nh=x vast, dan is n=x/h en y(x)=(1+h)^x/h.Substitutie hierin van y(x)=u^x geeft dat
u=(1+h)^1/h.Als h naar nul gaat , gaat u naar e, zodat y(x)=e^x de oplossing is. Als h naar 0 gaat , gaat n naar oneindig ( x vast)Dit betekent dat we in steeds kleinere stapjes van o naar x gaan.

Hopelijk is het zo een beetje duidelijk.
Groetend,

kn
13-7-2005