WisFaq!

Mathematische notatie

Ik kan een tekst uit een studieboek maar niet vatten, kunt u mij helpen. De tekst gaat alsvolgt:
Veronderstel eens dat de wereldbevolking inderdaad eens is begonnen met Adam en Eva. Hoe snel zou, vanaf hen, de wereldbevolking kunnen groeien?
Zonder op allerlei niet terzake doende details in te gaan, kunnen we opmerken dat de aanwas van de bevolking direct afhankelijk is van het aantal mensen op dat moment aanwezig. (en nu komt het!)
Mathematisch noteren we dat zo: als N het aantal mensen in de bevolking is, dan is de verandering in dat aantal:
dN/dt = kN,
waarbij k een evenredigheidsconstante is.
Het probleem van een groeiende bevolking is er één uit een enorme reeks, waarin de verandering van iets evenredig is met zichzelf. Om het probleem in zijn algemeenheid aan te pakken veranderen we iets in de notatie:
y = kn en x = kt
(Het verband met de vorige notatie dN/dt =kN snap ik helemaal niet!)
Onze vergelijking wordt daarmee:
dy/dx = y
(Op dit punt is differentiëren helemaal Grieks voor me geworden)

Mijn aantekeningen:
1. dN/dt = kN
is dit de afgeleide van N = kNt
Indien wel dan, is het toch N(t+1) = kNt
(De groei van de bevolking in een bepaald jaar,is afhankelijk van het aantal mensen in het jaar daaraan voorafgaand).

2. Y = kN (groeifactor?)
x = kt (wat zegt dit?)

De conclusie uit het boek is dat ik hierdoor zal inzien dat de afgeleide van de functie y gelijk is aan de functie y.
Ik zie dat helemaal niet in!

Kunt u mij helpen de juiste bril op te zetten.

Bedankt Yara

yara
23-6-2005

Antwoord

Hoi Yara

noteer best vanin het begin N(t) ipv N; zo zie je beter dat het een functie van t is en geen getal.
Dan komt er: ^dN(t)/_dt=k.N(t)
Het linkerlid is echter hetzelfde als: ^dkN(t)/_d(kt);
(k is gewoon een getal).

Stel kN(t)= y(t) en kt=x; dan krijg je: ^dy(t)/_dx=y(t).
Omdat kt=x volgt: t=^x/_k; daarom kan y(t) ook als een functie van x gezien worden.
Best schrijf je: y(t) =f(x); je krijgt dus:
^df(x)/_dx=f(x)

Het probleem is in zijn algemeenheid te herleiden tot het zoeken van een functie f(x) waarvan de afgeleide gelijk is aan zichzelf.

Dit zijn de exponentiële functies.
Immers: (hopelijk kan je dit volgen)
^df(x)/_f(x)=dx
Voor de gemakkelijkheid schrijf je nu z ipv f(x):
^dz/_z=dx
Beide leden integreren levert:
ln|z|=x+c of dus z=e^x+c
beter: f(x)=e^x+c

Als je wil herneem je de notaties van voordien:
k.N(t)=e^kt+c
k.N(t)=e^kt.e^c
Die lastige constante e^c is niets anders dan k.N(0). Vul t=0 in vorige lijn in en je ziet het.
Deel tot slot beide leden door k.

Besluit: N(t)=N(0).e^kt
In het geval van Adam en Eva is N(0)=2

Mvg,
Frank

FvE
24-6-2005