WisFaq!

Manteloppervlakte van een tangenslichaam

Kan iemand mij zeggen hoe ik

$\int{}$ (tan(x) √(1 + 1/cos(x)⁴))

oplos?

Gil
19-6-2005

Antwoord

Beste Gil,

Dat is best een interessante integraal, ik zal enkele zaken even apart doen.

Onder die wortel hebben we: 1 + 1/cos⁴x = (cos⁴x + 1)/cos⁴x

Die noemer kan nu weg onder de wortel en wordt een 1/cos²x, tangens zet ik nog om in sin/cos, dan wordt de integraal:

$\int{}$sinx/cos³x √(cos⁴x+1) dx

Stel y = cos²x $<\Rightarrow$ dy = -2sinxcosx dx

Om deze substitutie duidelijk te maken voer ik eerst even die factor -2 in (+correctie voor de integraal) en vermenigvuldig ik teller en noemer nog met cosx:

-1/2$\int{}$-2sinxcosx/cos⁴x √(cos⁴x+1) dx

Na substitutie: -1/2$\int{}$√(y²+1)/y² dy

Ook dit is nog niet zo eenvoudig, maar pas hierop eens partiële integratie toe. Neem √(y²+1) als f (afleiden dus) en dy/y² als dg (integreren dus).

Succes!

mvg,
Tom

td
19-6-2005