WisFaq!

Limiet met taylorreeks

hallo,

ik moet berekenen:

lim ^{sin(sinx) - x}/ _{x(cos(sinx) - 1)..}
x-0

en meot daarbij gebruiken maken van de reeksen voor sin t en cos t
nu is mijn vraag:
moet ik in de reeksen sin t en cos t, t=sinx stellen en dan per term die ik bekom alle sinussen nog eens schrijven als reeks

of moet ik eerst de SIN en COS uit SIN(sinx) en COS(sinx)als reeksen schrijven en allemaal vermenigvuldigen met een sinusreeks?

of is er nog een betere manier

ps ik moet hopital vermijden!
hopelijk een beetje duidelijk

maarten
dankje

maarten
19-6-2005

Antwoord

Beste Maarten,

Als je het mooi correct wil uitschrijven is het natuurlijk wat meer werk, maar op zich hoeft dit niet lang te duren. Je moet zeker niet te ver gaan in de reeksontwikkeling, dat maakt het alleen maar ingewikkelder! Uiteraard wel nét ver genoeg zodat de onbepaaldheid 0/0 verdwijnt.

De sinx binnen de sin in de teller en cos in de noemer zou ik slechts tot op 1e orde ontwikkeling, voor de sinus is dat dus x. Dan staat er (resttermen enz even achterwege gelaten...)

lim(x®0) (sin(x)-x)/(x(cos(x)-1))

Als we de overblijvende sin & cos slechts tot op 1e orde ontwikkelen, dan vinden we (x-x)/(x(1-1)) en dus terug de onbepaaldheid 0/0. We ontwikkelen dus tot op 2e orde, dit is x-x³/3 voor de sinus en 1-x²/2 voor de cosinus:

lim(x®0) (x-x³/3-x)/(x(1-x²/2-1)) = lim(x®0) (x³/3)/(x³/2) = 2/3

De limiet is 2/3

mvg,
Tom

td
19-6-2005