WisFaq!

Vraagstuk opgelost?!

Volgende is gegeven: 500 liter water waarin 20 kg zout
Per minuut 10 liter water erbij met 0,05 kilo zout per liter. Totaal blijft altijd 500 liter!
Volgende gevonden: z'(t)=-1/50*z(t)+1/2
Dan de volgende stap z(t)=-5e^-t/50+25
Kan iemand mij dit uitleggen, ik kan dit niet bepaald volgen?!
Alle uitleg is welkom!

Dank! Hans

Hans
15-6-2005

Antwoord

De afgeleide functie (differentiaalvergelijking) geeft de groei aan van het zoutgehalte in kg:
Per minuut komt er 10 liter water bij met totaal ¹/₂ kilo zout.
Er verdwijnt dan ook 10 liter en daarin zit z(t)/50 kilo zout (die 10 liter is namelijk ¹/₅₀e deel van de aanwezige hoeveelheid water).
Dat idee (continu) toegepast levert de gegeven differentiaalvergelijking.
Deze oplossen gaat als volgt: bij y'(t)=-1/50·y(t) is de oplossing y(t)=c·e^-1/50.t
Nu heb je feitelijk de DV: z'(t)=-1/50(z(t)-25)
Stel y(t)=z(t)-25 dat levert de DV in y: y'(t)=-1/50·y(t), hiervan is de oplossing y(t)=c·e^-1/50·t en dus is de oplossing in z: z(t)-25=c·e^-1/50·t
Nu moet z(0)=20 zijn hetgeen betekent dat c=-5

Met vriendelijke groet
JaDeX

jadex
16-6-2005