WisFaq!

Partieel integreren

Ik moet een integraal oplossen waar ik niet uit kom. De functie f(x) luidt:

f(x)=x²√1-x²

Nu weet ik dat ik met partieel integreren een heel eind zou moeten kunnen komen, maar ik loop steeds op 1 deel vast en dat kan steeds teruggeleid worden naar de integraal van:

√1-x²

Ik weet wat er uit moet komen:

1/2·x·√1-x²+1/2·arcsin(x)

Maar ik heb geen idee hoe ik daar moet komen.

Ik hoop dat iemand mij van dienst kan zijn.
BVD

Remco
27-7-2002

Antwoord

(beetje laat, komt door de vakantie)

Ten eerste: x²√(1-x²) heeft niet de primitieve die jij genoemd hebt.
Ik heb eens even gespiekt op integrals.wolfram.com en ben er eens van uitgegaan dat jouw beginfunctie niet luidt
x²√(1-x²), maar √(1-x²)

dan komt er WEL het eindantwoord uit dat jij noemt.
Dus zal ik proberen uit te leggen hoe het komt dat de primitieve van √(1-x²) gelijk is aan
½x√(1-x²) + ½arcsin(x)

we leggen als het ware 2 wegen uit, 2 wegen waarlangs we proberen partieel te integreren. reken maar even mee:

1. $\int{}$√(1-x²)dx = $\int{}$1.√(1-x²)dx =
[x√(1-x²)] + $\int{}$x. x/√(1-x²) dx

2. $\int{}$√(1-x²)dx = $\int{}$ (1-x²)/√(1-x²) dx =
$\int{}$1/√(1-x²) - x²/√(1-x²) dx =
[arcsin(x)] - $\int{}$x²/√(1-x²) dx

truc: x²/√(1-x²) is lastig te primitiveren, maar laten we stap 1 eens gelijkstellen aan stap 2. Wat zien we?

[x√(1-x²)] + $\int{}$x²/√(1-x²) dx = [arcsin(x)] - $\int{}$x²/√(1-x²) dx $\Leftrightarrow$
2$\int{}$x²/√(1-x²) dx = [arcsin(x) - x√(1-x²)] $\Leftrightarrow$
$\int{}$x²/√(1-x²) dx = [½arcsin(x) - ½x√(1-x²)]

Substitueer dit in de laatste regel van stap 2. dit levert je:
$\int{}$√(1-x²)dx = arcsin(x) - ½arcsin(x) - -½x√(1-x²) =
½arcsin(x) + ½x√(1-x²)

hopelijk is dit het antwoord wat je zocht. zoniet, stel je vraag dan nog maar een keer.

vriendelijke groet,
martijn

mg
29-7-2002