WisFaq!

Kan je de formule van Euler ook toepassen bij een uitslag?

Haay, kan je de formule van Euler ook toepassen bij een uitslag van bijv. een prisma? Alvast bedankt!

Annemarijke
6-6-2005

Antwoord

De formule van Euler geldt voor convexe lichamen en zegt iets over het aantal ribben, grensvlakken en hoekpunten. Je kunt zelf nagaan dat als je bijvoorbeeld een kubus open knipt wat er dan gebeurt:



Maar ja... wat zijn nu de hoekpunten, de vlakken en de ribben? Of moet je dan naar hoekpunten, zijden en vlakken kijken... en bestaat er dan ook zo'n eenvoudig verband tussen deze 3 aantallen?

Kijken we eerst eens naar een willekeurige vierhoek in het vlak:



Nemen we z=aantal zijden, h=aantal hoekpunten en v=aantal vlakken. We gaan tellen:

z=4
h=4
v=2

Dat laatste lijkt vreemd, maar daarmee bedoel ik het gele vlak (dat is 1 vlak) en het 'buitenvlak' (dat is het tweede vlak).

Nu leggen we aan deze vierhoek een andere vierhoek:



Gaan we weer tellen:

z=7
h=6
v=3

Zie je al iets? Kan je al iets zeggen van het verband tussen z, h en v? Of zullen we er nog één doen....!?



Gaan we weer:

z=10
h=8
v=4

Dat is sterk... het lijkt wel of er steeds geldt: h+v=z+2

Zou dat nou ook gelden voor de uitslag van een kubus? Laten we maar eens gaan kijken:



z=19
h=14
v=7

En wat denk je....!? Ben je daar nog?

WvR
6-6-2005