WisFaq!

Niet-euclidische meetkunde

In het algemeen worden er twee alternatieven gegeven voor vlakkemeetkunde: bolmeetkunde (elliptische meetkunde) en hyperbolische meetkunde.
Timothy Gowers (de kortste introductie : wiskunde) zegt echter dat de bolmeetkunde geen herinterpretatie van de vlakkemeetkunde is, aangezien de eerste 4 axioma's niet kloppen op een bol...

Waarom wordt bolmeetkunde dan wel altijd aangehaald als tweede niet-euclidische meetkunde?
En wat is bolmeetkunde dan als het geen herinterpretatie van de vlakkemeetkunde is?

Bij voorbaat dank,

Collin

Collin Van der Poel
1-6-2005

Antwoord

Beste Collin,

Eigenlijk is je vraag niet helemaal correct gesteld. Bolmeetkunde is maar een model van elliptische meetkunde, het is niet zo dat ze hetzelfde zijn. Er is nogal eens spraakverwarring rond deze termen.

Duidelijk is dat bolmeetkunde een heel ander uitgangspunt heeft dan gewone vlakke meetkunde, en niet zomaar een herinterpretatie is. Immers, in bolmeetkunde zijn "grote cirkels" de "lijnen" en hebben twee lijnen ook twee snijpunten, die we samen gemakshalve het snijpunt noemen. Het begrip "tussen" kun je ook niet goed definiëren in deze meetkunde.

Bij mijn weten is projectieve meetkunde ook een vorm van elliptische meetkunde, en projectieve meetkunde kun je wel zien als een herinterpretatie van de vlakke meetkunde, immers met een toegevoegde oneindig verre rechte.

FvL
4-6-2005