WisFaq!

Voorwaardelijke kansen

Hoe bereken je de kans van A op voorwaarde dat het complement van B al gerealiseerd is?

P(A), P(B) en P( AÈB) zijn gegeven.

Kim
29-5-2005

Antwoord

Wat je wilt weten is dus de kans dat A optreedt, geconditioneerd naar het optreden van het complement van B,
Laten we X het universum noemen. Dan is het complement van B=X\B
We zoeken de kans:
P(A | X\B)

Waarschijnlijk heb je de wet van totale kans gezien. Die zegt dat als B₁,...,B_n, onderling onafhankelijk zijn, en als de som van de kansen P(B₁),...,P(B_n) 1 is, dan is
P(A)=P(A | B₁)*P(B₁)+...+P(A | B_n)*P(B_n)

neem n=2
B₁=B
B₂=X\B

De som van de kansen van bovenstaande gebeurtenissen is 1, en ze zijn onderling onafhanklijk. De wet van de totale kans zegt:
P(A)=P(A | B)*P(B)+P(A | X\B)*P(X\B)

Nu gebruiken we de regel voor de conditionele kans:
P(A | B) = P(AÇB)/P(B)

P(A)= P(AÇB)*P(B)/P(B) + P(A | X\B)*P(X\B)

We rekenen dit om naar

P(A | X\B)=P(A)/P(X\B) -P(AÇB)/P(X\B)

Nu weten we ook dat P(AÈB)=P(A)+P(B)-P(AÇB)
dus
P(AÇB)=P(A)+P(B)-P(AÈB)

Vullen we dit in in hetgeen we al hadden dan komt er

P(A | X\B)=P(A)/P(X\B)-(P(A)+P(B)-P(AÈB))/P(X\B)
=
(P(AÈB)-P(B))/(1-P(B))

Alles wat nu nog in het rechterlid staat is gegeven.

Koen

km
29-5-2005