WisFaq!

Limiet modulusfunctie

hoi,
op school leerde we dat een limiet bestaat als de linkerlimiet gelijk is aan de rechterlimiet

een afgeleide bestaat ook pas als de linkerafgeleide gelijk is aan de rechter afgeleide (omdat afgeleiden in principe ook limieten zijn, dus omdat linkerlimiet=rechterlimiet)

maar als je nu f(x) = |x| beschouwt in het punt x=0
dan is de rechterafgeleide ¹linkerafgeleide maar toch zijn linker en rechterlimiet aan elkaar gelijk?

hoe kan dat

met vriendelijke groet

Sebastiaan
28-5-2005

Antwoord

De limiet moet bestaan en bovendien eindig zijn. Daarom is niet elke functie differentieerbaar in elk punt. De modulusfunctie is niet differentieerbaar in 0 omdat (f(x)-f(0))/(x-0) gelijk is aan 1 als x0 en gelijk is aan -1 als x0. De limiet voor x®0 bestaat dus niet. Als je het grafisch bekijkt kan je dat al vermoeden. Een raaklijn aan een punt op de grafiek valt in de buurt van dat punt met de grafiek samen. Of anders gezegd, hoe meer je inzoomt op dat gedeelte van de grafiek, hoe meer het op een rechte lijn gaat lijken. Dat is niet zo bij het nulpunt van de modulusfunctie, De 'knik' blijft altijd zichtbaar hoe ver je ook inzoomt.

groet

pl
28-5-2005