WisFaq!

Een goed te begrijpen bewijs voor de volgende stelling

Weet iemand een goed te begrijpen bewijs voor de stelling: De oppervlakte van een driehoek met zijden a, b en c is gelijk aan √(s(s-a)(s-b)(s-c)) waarbij s=¹/₂(a+b+c).

Gerard Kaelen
21-5-2005

Antwoord

Hallo Gerard,

Het bewijs moet sluitend zijn voor alle driehoeken, dus ik ga uit van onderstaande willekeurige driehoek. Zonder rechte hoek dus.

We zien 2 Pythagoras driehoeken: ABD en ADC.
Hierbij horen de vergelijkingen: c²=h²+x² en b²=h²+(a-x)²
Ofwel: h²=c²-x² en h²=b²-(a-x)²
Hieruit volgt: c²-x²=b²-(a-x)² Zo ook: c²−x²=b²−(a²− 2ax+x²)
En: c²−x²=b²−a²+2ax−x² En: c²=b²−a²+2ax
Dus: 2ax=a²−b²+c²
Conclusie: x=^a2−b2+c2/_2a

Deze x nu invullen in: h²=c²-x²=(c - x)(c + x)
Dit levert: h²=^{(−a+b+c)(a+b−c)(a−b+c)(a+b+c)}/_4a²

Nu komt de s erbij, om bovenstaande vergelijking te vereenvoudigen. De nieuwe letter s staat voor de halve omtrek, dus ¹/₂(a+b+c).
We krijgen nu de volgende vergelijkingen:
(a+b+c)=2s
(-a+b+c)=2s-2a
(a+b-c)=2s-2c
(a-b+c)=2s-2b

De eerder gevonden formule: h²=^{(−a+b+c)(a+b−c)(a−b+c)(a+b+c)}/_4a² gaat dus nu over in:
h²=^{2s(2s−2a)(2s−2b)(2s−2c)}/_4a²
Dus: h²=^{4s(s-a)(s-b)(s-c)}/_a²
Dus: h=^{2√s(s-a)(s-b)(s-c)}/_a

En omdat (kijkend naar het beginplaatje) de oppervlakte van de driehoek ^ah/₂ is, is nu de oppervlakte van de driehoek dus ook:
√s(s-a)(s-b)(s-c)

Zo kun je dus de oppervlakte van elke willekeurige driehoek berekenen als de de drie zijden weet.
Duidelijk Gerard?

Groeten, FV

Zie De formule van Heron [http://www.pandd.demon.nl/heron.htm]

FV
21-5-2005