WisFaq!

Oppervlakte segment van een ellips

Oude rioolbuizen zijn ellipsvormig b.v. h=1m b=0,8m. Als er water doorstroomt dat 0,2m hoog staat wat is dan de oppervlakte van het watergevulde deel van de doorgesneden ellips.

Groetjes Daan

Daan Visser
19-5-2005

Antwoord

Veronderstelling: we rekenen in decimeter
h=10dm
b=8dm
waterpeil=2dm

Dat hangt er natuurlijk van af of je elliptisch cilindrische buis met de breedste kant plat ligt, of rechtopstaat. Laten we het geval nemen dat de "ellips" plat ligt, het ander geval is analoog.

De vergelijking van de ellips is dan x²/5²+y²/4²=1
We rekenen dit op naar y = -4·Ö(25-x²)/5
Dit is weliswaar enkel het stuk ellips onder de x-as!!
De vergelijking van de rechts is y=-2



De horizontale lijn is het waterniveau, de twee verticale lijnen duiden de snijpunten van de waterlijn met de ellips aan. (Snijpunten liggen (na een kleine berekening) op ±5·Ö(3) /2 )

Om de oppervlakte van het aangeduide stuk te berekenen nemen we de integraal:



Uitrekenen van deze dubbelintegraal levert:
20/3·p-5·Ö(3)

Koen

km
19-5-2005