WisFaq!

Ringen

Stel R={a+bÖ2waarbij a,bÎZ}.
Voor (a+bÖ2)ÎR en (c+dÖ2)ÎR geldt
(a+bÖ2)=(c+dÖ2)Ûa=cÙb=d.
Binnen R definieren we de optelling Ådoor
(a+bÖ2)Å(c+dÖ2)=(a+b)+(b+d)Ö2
Binnen R definieren we de vermenigvuldiging Ädoor
(a+bÖ2)Ä(c+dÖ2)=(ac+2bd)+(ad+bc)Ö2
a bewijs dat R,Åeen communitatieve groep is.
mijn vraag, als a ÎZ is dan kan na bewerking van Ö2 het toch nooit meer een ÎZ zijn?
voor het bewijzen van assosiatief a*(b*c)=(a*b)*choe pas ik dit in eigenlijk wat en waarom dat reken ik voor a?
Ik hop als ikdit snap dat ik dan ook de rest van het vraagstuk kan beantwoorden.oeverige vragen zijn:
b. bewijs dat R,Ä een communitatieve semi groep is
c. Bezit de semigroep een eenheids element? zo ja welke
d. Is R, ÅÄeen ring
e. heeft deze ring een eenheids element....dit laatste is mij toch nog toe nietgelukt te berekenen bij andere opgaven.
Alvast bedankt voor het beantwoorden, harmke
Ä

Harmke
16-5-2005

Antwoord

Eigenlijk bestaat R uit koppels (a,b) met a en b in Z. Op die koppels worden een soort optelling en een soort vermenigvuldiging gedefinieerd. Op zich ben je in die keuze totaal vrij, maar het grappige aan de keuzes in de opgave is dat ze uitkomsten leveren die precies die zijn die je zou bekomen als je de koppels (a,b) zou opvatten als bepaalde reele getallen, namelijk van de gedaante a+bÖ2.

Dat is een beetje een gelijkaardig verhaal als bij complexe getallen, waar je met koppels (a,b) kan rekenen zoals je gewoon bent te doen met reele getallen, als je (a,b) voorstelt door de gedaante a+bi en i²=-1 stelt. In jouw geval zou je kunnen zeggen dat je (a,b) voorstelt als a+bj, waarna je met deze nieuwe objecten kan rekenen zoals met reele getallen, als je tenminste j²=2 stelt.

Samengevat, R is een verzameling koppels (a,b) met a en b in Z, met bewerkingen Å en Ä die voldoen aan

(a,b)Å(c,d) = (a+c,b+d)
(a,b)Ä(c,d) = (ac+2bd,ad+bc)

Om die definities te onhouden kan je doen ALSOF (a,b)=a+bÖ2.

Volstaat dit om te begrijpen wat er staat en dus zelf de oefeningen af te handelen?

cl
16-5-2005