WisFaq!

Vuistregel voor reeks van sinus

Ik moet voor wiskunde deze vraag beantwoorden.
Onderzoek voor verschillende waarden van x na hoeveel termen je de reeks van sin x mag afkappen om voor sin x op één decimaal nauwkeurig te benaderen. Formuleer een vuistregel waarmee je bij een gekozen nauwkeurigheid voor verschillende waarden van x het aantal benodigde termen kunt vinden. Hier was ook al een vraag over op deze site en die heb ik ook gebruikt. Alleen kan ik nog steeds geen vuistregel vinden. Ik heb er al verschillende geformuleerd, maar ze hebben alleen maar betrekking op een bepaald aantal getallen. Zouden jullie me iets verder kunnen helpen? Alvast bedankt!

Sanne
13-5-2005

Antwoord

Ik heb jullie toelichting gelezen. Jullie hebben behoorlijk veel voorbeelden bekeken.
Bij de benadering van sin(x) zie je stap voor stap het volgende:

Omdat de machtreeks convergeert zullen de afzonderlijke termen in absolute waarde steeds kleiner worden en op zeker moment kleiner dan 1 zijn. Omdat de termen alterneren (om en om negatief en positief) zal vanaf dat moment de afbreekfout kleiner zijn dan de absolute waarde van de eerst weggelaten term. Die afbreekfout na n termen gaan we afschatten.
Voor -1x1 is dat heel makkelijk. Alle termen zijn dan kleiner dan 1 en de fout na het gebruik van n termen uit de machtreeks is hoogstens:
formule 1
Voor x-1 of x1 kun je sin(x) goed afschatten indien het aantal gebruikte termen n uit de machtreeks groter is dan x². Voor de fout geldt in dat geval:
formule 2
(verbetering: bij de eerste x moeten nog absoluut strepen || toegevoegd worden)
Je zou dus als vuistregel kunnen nemen: kies n > x². Dat het dan tot ±2 of ±3 goed gaat kun je handmatig wel nagaan (heb je wellicht al gedaan). De vraag is of dat is wat je zoekt. Overigens staat hier wel degelijk een bewijs maar deze afschatting is wel erg grof. Jullie vermoeden van |x|+3 termen lijkt me niet algemeen te bewijzen. Voor hele grote waarden van n zou dat nog wel eens mis kunnen lopen.

Veel beter is het overigens om voor een willekeurige waarde van x die waarde van x' te zoeken waarvoor geldt sin x' = sin x en -p/2x'p/2. Pas dan vervolgens de reeks toe op x'.
Hoe goed is nu die benadering wanneer je drie termen uit jullie reeks zou nemen ?
De algemene formule voor de fout haal je uit het eerste deel van formule 2:
max |fout| = formule 3
En hiermee kun je voor -p/2x'p/2 die afbreekfout heel makkelijk afschatten.

Met vriendelijke groet
JaDeX

Zie sinusafschatting tussen -2 en 2 [http://www.wisfaq.nl/showrecord3.asp?id=11377]

jadex
19-5-2005