WisFaq!

Maximum Likehood Estimator

Op de vraag 'vind de Maximum Likehood Estimator van P(X=x)=p(1-p)^k-1 en ga uit van een i.i.d sample of size n)' kom ik niet op het correcte antwoord p=1/X (p dakje =1/streep X).

Dit is mijn berekening:

$\prod$ p(1-p)^k-1 = $\sum$( log(p) + (k-1)log(1-p) ) =
n·log(p) + $\sum$(k-1)·log(1-p) =
n·log(p) + log(1-p)· ($\sum$(k) -n) =
n·log(p) - n·log(1-p) + log(1-p)· $\sum$(k)

Afgeleide nemen en op 0 stellen:

n/p - n/(1-p) + 1/1-p · $\sum$(k) =0

n/p -2·n+ $\sum$(k) =0
p= n/ (2n-$\sum$(k) )

in plaats van p=1/$\sum$(k)

Wesly
12-5-2005

Antwoord

Eerst en vooral is het een Likelihood estimator, en niet een likehood...

Je LikeLIhood functie is
P(X1=x₁, ..., Xn=x_n)
die bevat een parameter p
Omdat alle Xi i.i.d. zijn (identically and independent distributed) is dit ook gelijk aan
P(X1=x₁)·P(X2=x₂)·...·P(Xn=x_n) (door de onafhankelijkheid)
Stel dat X ook die verdeling heeft ( om de notatie te niet te overbelasten kunnen we dit doen want alles Xi's zijn identiek verdeeld)
=
$\prod$P(X=xi)
i=1 tot n

=
$\prod$p(1-p)^xi-1 Dit is dus de Likelihood functie uitgewerkt.

Nu neem je de log, en leid je af naar p, en dat stel je nul.
Je krijgt als je de rekenregels van de log in acht neemt:

n/p + n/(1-p)-$\sum$(xi)/(1-p) = 0

een plus dus, en niet een min. (de afgeleide van log(1-p) =-1/(1-p) kettingregel!)

$\Rightarrow$ p=n/$\sum$(xi)
=1/($\sum$(xi)/n)
=1/

Koen

km
12-5-2005