WisFaq!

Snijpunt lijn met cirkelboog

Van een lijn met formule y = (rc·x) + b moet het snijpunt van een cirkelboog berekend worden. Ik weet dat het snijpunt berekend kan worden door de formules aan elkaar gelijk te stellen. Nu is mij vraag wat de formule van een cirkelboog is. Van de cirkelboog is het middelpunt, de straal, starthoek en eindhoek bekend. Hoe kan ik dan zijn formule bepalen en de vergelijking oplossen?

Danny
12-5-2005

Antwoord

de vergelijking van een cirkel is i.h.a. van de vorm:

(x-a)²+(y-b)²=r²
dit is een cirkel met middelpunt (a,b) en straal r.
Een functievoorschrift, echter, van een cirkel, bestaat niet. Want dan zou er bij iedere x-waarde 2 y-waarden horen. Maar uit de vergelijking van de (hele) cirkel, kun je wel een functievoorschrift afleiden van een cirkelBOOG.

Beschouw bijv. de cirkel (x-a)²+(y-b)²=r² : $\Rightarrow$
(y-b)²= r² - (x-a)² $\Rightarrow$
(y-b)= √(r² - (x-a)²) $\angle$ (y-b)= -√(r² - (x-a)²)
De ene oplossing is de bovenste helft van de cirkel en de andere oplossing is de onderste helft.
(probeer zelf eens uit op bijv. (x-2)²+(y+3)²=16 )

Nu je dan het functievoorschrift hebt van de cirkelboog,
y-b = √(r² - (x-a)²)
Kun je in deze y-waarde het functievoorschrift van je rechte lijn substitueren.
Zo krijg je dus een vergelijking met in het rechterlid slechts een wortel, en geen andere 'rommel'
Nu moet je links en rechts kwadrateren.

dit levert je een nette 2e-graads vgl op.
Det$<$0 $\to$ geen oplossingen, geen snij- / raakpunten
Det=0 $\to$ 1 oplossing, 1 snij- / raakpunt
Det$>$0 $\to$ 2 oplossingen 2 snijpunten

groeten,
martijn

mg
12-5-2005