WisFaq!

Mersenne-priemen

Hallo wisfaq,

Laat a1 en k1 getallen waarvoor (a^k)-1 priem is. Ik wil bewijzen dat a=2 en k is priem maar ik weet niet hoe ik dit moet doen.

Groeten,
Viky

viky
12-5-2005

Antwoord

Dag Viky,

Enkele hints:
Gebruik de ontbinding
a^k-1 = (a-1)(a^k-1+a^k-2+...+a+1)
Dit is de ontbindig van een priemgetal in twee factoren. Wat kan je daaruit afleiden?
Dit bewijst al dat zeker a=2 moet gelden.

En nu, stel dat k niet priem is, dus k=mn met m en n 1. En toch zou moeten gelden dat 2^mn-1 priem is.
Dit is (2^m)ⁿ-1. Kan je dit ontbinden? Zoja, dan bekom je een strijdigheid, en heb je het hele bewijs.

Groeten,
Christophe.

Christophe
12-5-2005