De negatief binomiale verdeling wordt gegeven door:
P(X = k) = Bin(r + k - 1, k) (p^r) (q^k) voor k = 0,1,. . .
Hierin is Bin(n,k) de gewone binomiaalcoefficient n over k.(dit is de kans dat het rde succes in een rij onafhankelijke proeven met succeskans p optreedt bij proef nummer r +k)
Als we als definitie van Bin(n,k) nemen:
Bin (n,0) = 1, Bin(n,k) = n(n-1). . .(n-k+1)/ k! voor k = 1, 2, . . .dan is Bin(n,k) ook gedefinieerd voor n niet een geheel getal, Ja, n mag zelfs negatief zijn.
Nu kun je gemakkelijk nagaan dat Bin( r + k -1, k) het zelde is als Bin(-r, k)(-1)^k en dan krijg je:
P(X =k) = Bin(-r,k)(p^r)(-q)^k
Om deze kansen te sommeren gebruik je wat je weet over binomiaalreeksen:( Zie cursus calculus)
(1+x)^a = Som(k=0 tot oneindig)Bin(a,k) x^k.
(convergeert voor |x|
1) Pas dit toe en je vindt dat de som van de kansen gelijk is aan p^r (1-q)^-r. = 1 (want 1-q = p)
Ik vondt dit in het voortreffelijke boek van William Feller:
An Introduction to probability theory. Daar kun je nog veel meer vinden over deze verdeling.
Succes, Met vr gr
JCS
11-5-2005