WisFaq!

Algebraïsch bewijs Sk

S(k) is de som van een rij machten:1^k + 2^k +...+(n-1^k +

n^k. [onder het sommatieteken staat: i=1; boven het teken
                                     k+1       k+1   
staat n]. Nu geldt dat: (n+1)^k+1 = (   )S(k)+(   )S(k-1)+
                                      1         2
       k+1  
.....+(   )s(0)+ 1. Wat is hiervoor het algebraïsch bewijs?
       k+1

Bij voorbaat mijn dank

R. Suylen
10-5-2005

Antwoord

Beste R.
Als we voor k+1 boven j schrijven C(k+1,j)is het rechterlid te schrijven als
1+åC(k+1,j)S(k+1-j),j loopt van 1 naar k+1.Nu is
S(k+1-j)=åi^(k+1-j),i loopt van 1 naar n.Dit vullen we in en we verwisselen de sommatie volgorde.Dus eerst sommeren over j.Dit geeft:
åC(k+1,j)i^(k+1-j),j loopt van 1 naar k+1.Als j loopt van 0 naar k+1 is de som gelijk aan (1+i)^(k+1).
De som is dus gelijk aan (1+i)^(k+1)-i^(k+1).Nu sommeren over de i en dan zie je dat (1+n)^(k+1)overblijft.
Groetend,

kn
11-5-2005