WisFaq!

Meetkundige plaats

Gegeven is een cirkel met straal r. De vaste middellijn m snijdt C in punten A en B. rechte l evenwijdig met m snijdt C in P en Q.
Bepaal de verglijking van de orthogonale hyperbool die A, B, P en Q bevat.
Bepaal de meetkundige plaats van de raakpunten van de raaklijnen aan de hyperbool die een gegeven richting hebben als l zich verplaatst evenwijdig met m.

Ik probeerde het volgende:

Ik maakt een figuur waarbij x-as: middellijn door M op PQ
y-as: door A en B (keuze van het assenstelsel)
en dus PQ = l en AB = m

ik gaf de punten coöridnaten :
A(0,c)
B(0,-c)
P(q,p)
Q(p,-q)
M(0,0)
(ik gebruikte geen a en b omdat deze al gebruikt wordne in de alg vgl van de cirkel)

Een orthogonale (=gelijkzijdige) hyperbool dis a+a'=0
dus de vgl wordt: ax²+a'y²+2b"xy+2b'xz+2byz+a"z²=0
= ax² - ay² + 2b"xy + 2b'xz + 2byz + a"z²=0
of: x²- y² + 2b"xy + 2b' + 2byz + a"z² = 0

A Î van hyperbool : -ac² + 2bc + a"=0
B Î van hyperbool : -ac² -2bc + a" =0

Maar dit heeft volgens mij geen zin?
Hoe kan ik het best wel aanpakken?

Zou iemand zo vriendelijk willen zijn me verder te helpen aub?

Alvast bedankt!

Veerle
8-5-2005

Antwoord

Beste Veerle,

Na het toepassen van de orthogonaliteit van de hyperbool vond je als algemene vergelijking: (ik neem al z = 1)
x² - y² + 2b"xy + 2b'x + 2by + a" = 0

Dan ga je inderdaad de 4 punten coördinaten geven, maar dat moet je doen door gebruik te maken van alles wat gegeven is zodat je zo weinig mogelijk 'nieuwe parameters' of 'onbekenden' invoert!

Zo weet je van A en B dat ze 0 hebben als x-coördinaat, maar ze liggen op de cirkel met straal r dus hun y-coördinaten zijn resp. r en -r! Dit spaart al 2 nieuwe veranderlijken...
Voor P en Q ligt het iets moeilijker. De rechte l verplaatst zich horizontaal, evenwijdig met m. De rechte wordt volledig bepaald door zijn x-coördinaat, bvb 'k'. Van P en Q weet je nu ook dat k hun x-coördinaat is. De y-coördinaat weet je ook, want ze liggen op de cirkel! Via Pythagoras vind je resp. Ö(r²-k²) en -Ö(r²-k²).

Samengevat, de punten:
A(0,r); B(0,r); P(k,Ö(r²-k²)); Q(k,-Ö(r²-k²))

Nu vul je deze punten telkens in de algemene vergelijking van de orthogonale hyperbool en je vindt 4 vgl in 4 onbekenden. Het stelsel oogt vervelend maar uit de eerste 2 vgl haal je al snel dat a gelijk moet zijn aan r² en b aan 0.
Als je dat gebruikt in vgl 3 en 4 zul je ook daar een gelijk deel zien en een tegengesteld deel waaruit volgt dat ook d gelijk moet zijn aan 0 en c aan -k.

De vergelijking van de orthogonale hyperbool door de 4 punten is dan:
x² - y² + -2kx + r² = 0 met r de straal van de cirkel en k de parameter (x-coördinaat) van de rechte l.

Lukt het dan verder?

mvg,
Tom

td
8-5-2005