WisFaq!

Lagrange interpolatie

Ik heb meerdere sites zitten te bekijken en snap geen moer van de lagrange interpolatie.

Ik heb een zeer simpele opgave gekregen: bepaal m.b.v lagrange de sin(0.2) als gegeven is:
sin(0)=0
sin(1/6$\pi$)=¹/₂ sin([1/3$\pi$)=¹/₂√3
sin(¹/₂$\pi$)=1

Kan iemand mij op weg helpen met de lagrange formule en de rest term.

B.V.D

J.P. van Elk
5-5-2005

Antwoord

Wat de bedoeling is, is om de sinus functie in de buurt van 0.2 te benaderen door een veelterm. Aangezien je 4 waarden van de sinus gegeven hebt, kan je 4 onbekende coëfficiënten bepalen (4 vrijheidsgraden worden tenietgedaan door 4 voorwaarden). je kan dus een derdegraadspoly_noom (veelterm) maken.

We nemen p(x)=ax³+bx²+cx+d
En de 4 punten die gegeven zijn moeten daarop liggen. Dus:
p(0)=0
p($\pi$/6)=1/2
p($\pi$/3)=√(3)/2
p($\pi$/2)=1

$\Rightarrow$

d=0
a$\pi$³/216+b$\pi$²/36+c$\pi$/6+d = 1/2
a$\pi$³/8+b$\pi$²/4+c$\pi$/2+d = 1
a$\pi$³/27+b$\pi$²/9+c$\pi$/3+d = √(3)/2

En hieruit kan je halen dat

c = -1/2(-22+9√(3))/$\pi$, b = 9(-7+4√(3))/$\pi$², a = -18(-5+3√(3))/$\pi$³, d = 0

Je hebt nu je coëfficiënten van je poly_noom.

Nu kan je p(0.2) berekenen en dat geeft een goede benadering van sin(0.2)

Koen

Zie Lagrange Interpolatie [http://mathworld.wolfram.com/LagrangeInterpolatingPolynomial.html]

km
5-5-2005