WisFaq!

Bivariaat normale verdeling

Bewijs dat aX + bY normaal verdeeld is voor willekeurige constanten a en b niet beide nul als (X, Y) een bivariaat normale verdeling heeft.

Ik ben begonnen met de verdelingsfunctie van Z:= aX+bY op te schrijven. Vervolgens ben ik deze gaan differentieren, totdat ik de uitdrukking f(z) = 1/(2pÖ(1-r^2)b) òe^{-1/2[x^2-2rx(z-ax)/b+(z-ax)^2/b^2]/(1-r^2)}dx overhoudt. De integraal loopt hier van -¥ tot +¥.
Tot zover klopt het, maar het kan nog vereenvoudigd worden naar de volgende uitdrukking: (tÖ(2p))^-1 e^{-1/2z^2/t^2} met t=Ö(a²+b²+2abr).

De vraag is alleen hoe doe je dat?

Mrbomb
3-5-2005

Antwoord

Mrbomb,
Je moet de exponent tussen de texthaken uitwerken.Dit geeft:
(1+2ra/b+a²/b²)x²-(2rz/b+2az/b²)x+z²/b²=
Ax²-Bx+C=A(x²-B/A x+C/A)=A(x-B/(2A))²+(AC-¹/₄B²)/A met
A=(b²+2rab+a²)/b²,B=(2rbz+2az)/b² en C=z²/b².
Nu is (AC-¹/₄B²)=z²(1-r²)/b².Nu is een een zaak van verder uitwerken.Om er voor te zorgen dat de resterende integraal 1 wordt mot je er een factor voorzetten.
Succes verder.

kn
5-5-2005