WisFaq!

Machtreeks (oplopend)

Bestaat er een somformule (Sk) waarmee de optelsom van een willekeurig aantal termen van de volgende machtreeks kan worden berekend: 1ⁿ + 2ⁿ + 3ⁿ +......+ kⁿ?
Vriendelijke groet

R. Suylen
2-5-2005

Antwoord

Je kent waarschijnlijk wel de som:
i=0-$>$k $\sum$xⁱ=(1-x^k+1)/(1-x)

Door systematisch af te leiden naar x in het linker -en rechterlid, en daarna de limiet voor x-$>$1 te nemen, kan je voor elke n de som bepalen.

Ik doe het even voor voor n=1

Het truckje zegt dus:

i=0-$>$k $\sum$xⁱ=(1-x^k+1)/(1-x)

leiden we 1 keer af, dat geeft:

i=1-$>$k $\sum$ix^i-1=[(1-x)(1-(k+1)x^k)+(1-x^k+1)]/(1-x)² Dat kan je nog wat vereenvoudigen:

i=1-$>$k $\sum$ix^i-1=(1-(k+1)x^k)/(1-x) +(1-x^k+1)/(1-x)² Hierin moeten we nu de limiet nemen voor x-$>$1

Het linkerlid geeft de som, het rechterlid de uitdrukking die je zoekt (in het rechterlid voor de limiet moet je wel nog een de regel van De L'Hospital toepassen want je krijgt een 0/0 limiet)

i=1-$>$k $\sum$i= k(k+1)/2

Als je nu de eerste uitdrukking bovenaan de pagina nog eens afleid krijg je

i=2-$>$k $\sum$i(i-1)x^i-2=
i=1-$>$k $\sum$i(i+1)x^i-1=
i=1-$>$k $\sum$i²x^i-1 + i=1-$>$k $\sum$ix^i-1= de tweede afgeleide van het rechter lid....
de limiet voor x-$>$1 van tweede term uit het linker lid ken je al uit de eerste berekening. Enkel nog de eerste limiet berekenen en die uit het rechter lid. En je bent klaar voor n=2

Ik moet er wel bijvermelden dat het woord REEKS hier niet op zijn plaats is :-) en zeker niet MACHTREEKS. Een reeks is een limiet van een rij partieelsommen, dus een oneindige som.

Koen

km
2-5-2005