WisFaq!

Goniometrische vergelijkingen met machten

Ik kreeg in mijn boek de volgende vraag voorgeschoteld:

2·sin²(x) = 1
Hoe los ik dit op? Ik ben tot zover gekomen:
sin²(x) = ½
sin²(x) = (½2)²
sin²(x) = sin²(¼ )
x = ¼ + k·2 v x = ¾ + k·2

volgens het antwoordenboek moet er het volgende uitkomen:
x = ¼ + k·½

Wat doe ik fout en hoe moet ik dit soort vergelijkingen dan wel oplossen? En hoe doe ik dan de volgende:

5·sin³(x) = 4

Heel erg bedankt,
Bart van der Vliet

Bart van der Vliet
24-6-2002

Antwoord

2sin²(x)=1Û
sin²(x)=1/2. deze stap is zowiezo goed.

verder weet je dat wanneer je een vergelijking hebt van de vorm:
x²=a, dat dan volgt:
x=+a Ú x=-a

dus:
sin²(x)=1/2 Û
sin(x)=½2 Ú sin(x)=-½2

Þ x=¼ +2k Ú x=¾ +2k (dit zijn de "plus"-oplossingen) Ú x=5/4 + 2k Ú x=7/4 + 2k (dit zijn de "min"-oplossingen)

Op zich zijn deze oplossingen al okay. Maar laten we deze "zooi" eens even slim samenvatten.
Als je de hierbovengenoemde hoeken allemaal aanwijst op de eenheidscirkel, dan valt je direct op dat het hoeken zijn beginnend bij ¼ (ofwel 45°) en dan telkens een kwart cirkel (½ ) verderop weer eentje.
Dit kun je samenvatten door te zeggen:

x = ¼ + ½k , k=0,1,2,3,...
******************************************

Dan 5.sin³(x)=4 Û
sin³(x)=4/5 Û sin(x)=(4/5)

(4/5) is een of ander rot-getal, ook in de gonio.
Dit moet je met je rekenmachine verder uitwerken:
inv sin ((4/5))
noem dit getal eventjes a
dan luidt de oplossing:
x= a + 2k Ú x= -a + 2k
vergeet die tweede oplossing niet!

suc6

Martijn

mg
24-6-2002