WisFaq!

Meetkundige plaats

Bepaal de algemene vergelijking van de orthogonale hyperbolen die de rechte t: y=2x als asymptoot hebben en die door het punt A(1,1) gaan. Bepaal de meetkundige plaats van de middelpunten van die hyperbolen.

Hoe moet ik dit precies aanpakken?

Ik deed het volgende:
de voorwaarde voor een orth hyp is: a=-a' en
d=-a²-b"²0

De asymptoten staan bijgevolg ook loodrecht op elkaar.

Maar hoe kan ik precies verderwerken? Kan iemand me aantal tips geven aub?

Dank bij voorbaat en vele groetjes

Veerle
30-4-2005

Antwoord

Beste Veerle,

Van orthogonale hyperbolen weet je dat de asymptoten loodrecht op elkaar staan. Een van de asymptoten is gegeven: y = 2x.
Je weet nu al de richtingscoëfficiënt van de 2e asymptoot omdat ze loodrecht moeten zijn, dit is -1/2. De 2e asymptoot is dus bepaald op een constante na die we c noemen: y = -x/2 + c

Als van een hyperbool de 2 asymptoten gegeven zijn, bvb f(x) en g(x), dan is de vergelijking van de (ontaarde) hyperbool f(x)*g(x) = 0. Als je hier een constante bijtelt (bvb k) bepaal je de algemene vorm van de hyperbool met die asymptoten, dus:

(y-2x)*(y+x/2+c)+k = 0

Verder is er ook gegeven dat de hyperbool door A(1,1) moet gaan. We kunnen k bepalen (in functie van c) door (1,1) in te vullen en op te lossen naar k. Na enig rekenwerk vind je dat k gelijk moet zijn aan (2c+3)/2. Dit vul je in en je vindt de algemene vergelijking van de orthogonale hyperbolen met de gegeven asymptoot en punt A.

De meetkundige plaats is nu erg eenvoudig, het middelpunt van een hyperbool valt immers samen met het snijpunt van de asymptoten. 1 Asymptoot is constant en één varieert in de 'hoogte'. De meetkundige plaats van al deze snijpunten is dus gewoon... de gegeven asymptoot zelf

mvg,
Tom

td
2-5-2005