WisFaq!

Snijpunt van ellips en een cirkel

Hoe moet het snijpunt van een ellips en een cirkel worden berekend, als de middelpunten niet op elkaar liggen?
Het assenstelsel zodanig leggen dat het overeenkomt met de assen van de ellips.

Dan geldt voor de ellips met stralen R1 en r2
x = R1 * sin a
y = R2 * cos a

Voor de cirkel met middelpunt (x0,y0) en straal R:
x = x0 + R * cos b
y = y0 + R * sin b

Dit aan elkaar gelijk stellen levert op:
x0 + R * cos b = R1 * sin a
y0 + R * sin b = R2 * cos a

Twee vergelijkigen en twee onbekenden: zou moeten lukken. Maar ja..

Bovenstaande verder uitwerken:
b = arccos (x0/R + R/R1*cosa) = arcsin (y0/R2 + R/R2*sina)

en dan? Met sin (arccosx) = srqt (1-x^2) loop ik vast tot de volgende formule:

sqrt (1 - (x0/R + R/R1*cosa)^2) = y0/R2 + R/R2*sina

Hoe verder?

De ellips kan uiteraard ook worden voorgesteld door x^2/b^2 + y^2/b^2 = 1 en de cirkel met (x-x0)^2 + (y-y0)^2 = R^2, maar dan raak ik na verloop van tijd ook vreselijk in de knoop.

Is dit analytisch oplosbaar en zo ja hoe?

Met vriendelijke groet,

Cor van Binsbergen
21-6-2002

Antwoord

Bij het werken met formules is het meestal wel een goed idee om als eerste poging een concreet voorbeeld te nemen. Lukt het niet met dit concrete voorbeeld, dan kan je het 'algemene geval' wel vergeten. Lukt het wel, dan kan je dezelfde stappen nogmaals uitvoeren maar dan met het 'algemene geval'.

Concreet geval
De ellips:
x=2·sina
y=4·cosa

De cirkel:
x=3+2·sinb
y=1+2·cosb

2·sina=3+2·sinb
4·cosa=1+2·cosb

a=arcsin(3/2+sin(b))
a=arccos(1/4+1/2·cos(b))

Gelijkstellen en b oplossen levert niet echt iets 'eenvoudigs' op. Dus dit is niet de goede weg...

Tweede poging
x²/4+y²/16=1
(x-3)²+(y-1)²=4

16x²+4y²=64
x²-6x+9+y²-2y+1=4

4x²+y²=16
x²-6x+y²-2y=-6

4x²+y²=16
3x²+6x+2y=22

4x²+y²=16
2y=22-3x²-6x

4x²+y²=16
y=11-1½x²-3x

4x²+(11-1½x²-3x)²=16
⁹/₄·x⁴+9x³-20x²-66x+121=16

En daar ben je dan mooi klaar mee... een vierdegraads vergelijking oplossen is wellicht mogelijk, maar ik denk dat we er beter mee kunnen kappen...

Wil je hetzelfde doen voor 'het algemene' geval dan ben je mooi klaar... dit lijkt me een mooie gelegenheid voor een numerieke methode.

WvR
21-6-2002