WisFaq!

Re: De fractalruimte

ik heb eigenlijk een vervolgvraag hier op:
Als je dan hebt dat d(A,B) = 0 als en slechs als A een deel is van B. Met deze definitie is d(A,B) voor A,B een element van F(X) niet symmetrisch. Om dan tot een symmetrische functie te komen nemen we dan h(A,B) = max {d(A,B),d(B,A)}. Die functie h dan met h: F(X)xF(X) - R plus noemt men dan d Haussdorffmetriek op de fractalruimte F(X). Op deze manier wordt dan (F(X),h) een metrische ruimte.
Maar hoe toon je dan eigenlijk aan dat
h(A U B, C U D ) = (kleiner of gelijk aan) max{h(A,C),h(B,D)}
kan iemand me daarbij helpen?

marie
26-4-2005

Antwoord

Dag Marie,

h(AÈB,CÈD) = max{d(AÈB,CÈD),d(CÈD,AÈB)}. Het is dus de grootste afstand van een punt x van AÈB tot de verzameling CÈD, of omgekeerd.

Laat ons ervan uitgaan dat die grootste afstand optreedt tussen het punt x, gelegen in A, en de verzameling CÈD. Deze afstand zal kleiner zijn dan de afstand van x tot C. En die afstand is een van de afstanden waarover het supremum wordt genomen in d(A,C). Samengevat hebben we een reeks van ongelijkheden:

h(AÈB,CÈD) = max{d(AÈB,CÈD),d(CÈD,AÈB)}

= d(x,CÈD) waarbij die x in A gelegen is
d(x,C)
d(A,C)
h(A,C)
max{h(A,C),h(B,D)}

Nu heb je één geval gehad, namelijk dat waarbij de grootste afstand optrad tussen een punt x uit A en de verzameling CÈD. Maar het mag duidelijk zijn dat de andere gevallen volledig analoog verlopen.

Dat je de ongelijkheid wel kan bewijzen, maar de gelijkheid niet, is eenvoudig na te gaan: kies bijvoorbeeld in de eenheidscirkel volgende gebieden:
A = tweede en derde kwadrant
B = eerste en vierde kwadrant
C = eerste en tweede kwadrant
D = derde en vierde kwadrant

Dan is AÈB = CÈD, dus zal h(AÈB,CÈD)=0. Maar A¹C en B¹D, dus h(A,C) en h(B,D) 0.

Groeten,
Christophe.

Christophe
1-5-2005