WisFaq!

Gulden Snede en Abc-formule

Je krijgt bij de vraag; wat is de gulden snede een goede berekening;
x2+10x-100=0
Nu moet je het verder gaan uitrekenen met de abc-fomule, maar ik snap niet hoe je dat kunt doen. Wilt u de stapjes goed, duidelijk uitleggen?

Elise
26-4-2005

Antwoord

Beste Elise,
Je moet dus de vergelijking: x²+10x-100=0 oplossen met de Abc-formule: (-b±Ö(b²-4ac))/(2a)
(let erop dat ± niet betekend 'ongeveer', maar dat er eigenlijk twee formules zijn, eentje die + gebruikt, eentje die - gebruikt)
Deze formule hoort bij de algemene vergelijking ax²+bx+c=0
In jouw vergelijking heb je in plaats van ax² heb je x² ofwel 1·x² en kunnen we dus stellen: a = 1
Tevens heb je in plaats van bx heb jij 10x dus: b=10
En in plaats van c heb jij -100 dus: c=-100
Dit allemaal nu invullen in de formule geeft:
-10±Ö(10²-4·1·(-100)))/(2·1)
Dan nu vereenvoudigen:
10²=10·10=100
4·1·(-100) = 4·(-100) = -400
Dus het geheel onder de wortel wordt:
10²-4·1·(-10))=100- -400 = 100+400 = 500
En de noemer in de formule (gedeelte onder de deelstreep) wordt: 2·1=2
Dus de hele formule kan vereenvoudigd worden naar:
-10±Ö(500))/2
Dan nu handmatig een wortel vereenvoudigen:
Kijk steeds door welk kleinste getal het gedeelte onder de wortel deelbaar is en stop als je bij 1 bent, ofwel:
500 is deelbaar door 2, 500/2=250
250 is deelbaar door 2, 250/2=125
125 is deelbaar door 5, 125/5=25
25 is deelbaar door 5, 25/5=5
5 is deelbaar door 5, 5/5=1
Dus 2·2·5·5·5=500 en kunnen we dus herschrijven:
Ö(500)=Ö(2·2·5·5·5) = Ö(2²·5²·5)
Omdat geldt: Ö(p·q)=Ö(p)·Ö(q) mogen we dus ook herschrijven:
Ö(2²·5²·5)=Ö(2²)·Ö(5²)·Ö(5)
En omdat algemeen Ö(p²)=p krijgen we zo:
2·5·Ö(5)=10·Ö(5)

Terug naar onze formule:
(-10±Ö(500))/2 wordt dus nu:
(-10±10·Ö(5))/2

Dit is weer te herschrijven naar:
2·(-5±5·Ö(5))/2
En dit is weer te vereenvoudigen naar:
-5±5·Ö(5)

Echter de gulde snede is: (1+Ö(5))/2 en dit zal dus niet echt een goede benadering zijn.

Kijken we nog even naar de 'negatieve' variant van ons gevonden antwoorden: -5-5·Ö(5)
Deel dit door -10 en we krijgen zo:
(-5-5·Ö(5))/(-10)
Dit is te vereenvoudigen naar:
(1+Ö(5))/2
Dit zou dan weer wel de gulden snede zijn.

M.v.g.
Peter Stikker

PHS
27-4-2005