Dit is echt een interessante vraag, en niet gemakkelijk om te beantwoorden. het heeft darom even geduurd. Maar hier is dan toch een antwoord.
De functie f : R -
R wordt gedefinieerd door f(x) = x voor alle x buiten de aftelbare verzameling V := { a(1), a(2),. . ., b(1), b(2),. . .}(De elementen van V zijn allen verschillend) De a(n)'s vormen een rij convergerend naar a ,(maar a(n) != a voor alle n) bv a(n) = a + 1/n. de b(n)'s blijven uit de buurt van a: |b(n) - a |
1 voor alle n.(bv b(n) = a(n) + 2)Verder definieren we : f(a(n)) = a(2n) voor alle n; f(b(n)) = a(n) als n oneven is en f(b(n)) = b(n/2) al n even is. Klaar.
Het is duidelijk dat f 1-1 duidig is (f beeldt V 1-1 op V af, en dus heel R op R)
Verder is f continu in x = a. Terwijl de inverse functie g niet continu is in a. Want g(a) = a maar g(a(n)) = b(n) als n = oneven. (terwijl g(a(2n)) = a(n) wel naar a convergeert.
Ik geef toe dat het wel een beetje gekunsteld is, maar ik ben bang dat het niet eenvoudiger kan. De bewering dat de inverse functie continu is, is nl normaliter wel waar, bv als f continu is in een open omgeving van a. In het bovenstaande voorbeeld is f niet continu in de punten a(n), dus in iedere omgeving van a zitten nog discontinuiteiten van f.
Redenering achter het voorbeeld:
Denk aan het alternatief van de epsilon-delta definitie voor continuiteit: f is continu in a als voor iedere rij a(n) -
a geldt f(a(n)) - f(a).In het voorbeeld wordt ervoor gezorgd dat de rij a(n) wordt afgebeeld op slechts een deel van een rij, nl alleen de even termen a(2n), zodat de a(n)'s met oneven n vrij blijven om een rij te maken die niet naar f(a) = a convergeert.
Ik hoop dat dit duidelijk is. Misschien kan het ook anders. Gegroet,
Jan Smit
JCS
30-4-2005