WisFaq!

Stelling van de gemiddelde waarde (stelling van Lagrange)

hallo

In ons boek staat een bewijs voor de stelling van Lagrange,
en om dat te bewijzen gebruikt hij een hulpfunctie F,
F(x)=(f(a)-f(b))x + (b-a)f(x) + af(b) - bf(a)
Mijn vraag is nu wat die functie inhoudt en waarom hij die gebruikt?
bedankt

Jan
19-4-2005

Antwoord

Je hebt een functie f(x) die continu is in het interval [a,b] en afleidbaar is in het interval ]a,b[.

De rechte door de punten van de grafiek (a,f(a)) en (b,f(b)) is (vergelijking van een rechte door twee gegeven punten) :

y - f(a) = ^(f(b)-f(a))/_(b-a).(x-a)
of

g(x) = y = f(a) + ^(f(b)-f(a))/_(b-a).(x-a)

Deze functie g(x) is ook continu en afleidbaar in dit interval want het is een rechte.

De hulpfunctie h(x) is nu het verschil f(x)-g(x).
Deze hulpfunctie is dus ook continu en afleidbaar in dit interval.
Bovendien geldt dat h(a)=h(b) zodat de stelling van Rolle kan toegepast worden. Je kunt dit gemakkelijk aantonen door in h(x), x te vervangen door a en dan door b. Je vindt dan h(a)=0 en h(b)=0.

De hulpfunctie F(x) die je hierboven gebruikt verkrijg je door de functie g(x) te vermenigvuldigen met (b-a).
Dus F(x)=g(x).(b-a)
Ook voor deze F(x) geldt dat F(a)=F(b)=0 zodat de stelling van Rolle kan toegepast worden.
Deze zegt dat er een c Î]a,b[ moet zijn zodat DF(c)=0
Nu is DF(x)=f(a)-f(b) + (b-a).Df(x)
Dus moet er een cÎ]a,b[ zijn zodat DF(c)=f(a)-f(b) + (b-a).Df(c) = 0
waaruit volgt dat
Df(c) = ^(f(b)-f(a))/_(b-a)

LL
19-4-2005