WisFaq!

Limieten

Hoi,
Ik heb gisteren een colloquium doctum aan de universiteit gemaakt. Waarschijnlijk heb ik het (net) niet gehaald en daarom wilde ik de uitwerking van een aantal sommen zien:

Bereken
lim[x->0] (4x² + x·sin x)/(7x²·sin x + x²·cos x)

Differentieer de volgende functies
y = ((x² - 25)/(x² + 5x)) + ((x² + 4x - 5)/(x²-x))
y = 5x² + 2x + x + sin²(5x² + 2x + x) + cos²(5x² + 2x + x)

Bereken
Integraal(0.. /2) cos x / (1 + sin x) dx

Zou het eigenlijk niet handig zijn een sectie te openen met bijvoorbeeld uitgewerkte proefwerken voor verschillende klassen?

Bart van der Vliet
19-6-2002

Antwoord

Wat de limiet betreft: begin met een deling door x uit te voeren. De breuk wordt dan:

(4x + sinx)/(7x.sinx + x.cosx).

Deel dit nu door sinx. Dan krijg je:

(4.x/sinx + 1) / (7x + cosx.x/sinx)

Het stukje x/sinx zul je wel als standaardlimiet geleerd hebben; als x®0 nadert dat tot 1.
Dan wordt het geheel dus: (4.1 + 1)/(0 + 1.1) = 5
Na de eerste deling door x zou trouwens ook de stelling van l'Hopital toegepast kunnen worden.

De eerste differentiatie lokt natuurlijk uit dat je als een dolle stier op de quotiëntregel duikt. Dat kan natuurlijk wel, maar dan reken je je suf.
Als je de tellers en noemers echter eerst ontbindt, dan blijkt de vorm als een zeepbel uiteen te spatten.

(x+5).(x-5)/x.(x+5) + (x+5).(x-1)/x.(x-1) = (x-5)/x + (x+5)/x = 2x/x = 2 en dan weet je zelf wel wat de afgeleide is!

De tweede is ook een pure wanhoop als je de dubbele bodem niet ziet.

Je kent de algemene stelling dat cos²(iets) + sin²(iets) = 1

De gegeven vorm is dus niets meer dan y = 5x² + 2x + 1 en dan weet je het verder wel.

Wat de integraal betreft:

daarbij moet je opmerken dat de afgeleide van de noemer (1 + sinx) precies de teller oplevert. Dat zal dus wel geen toeval zijn!

De primitieve wordt dan ook: ln(1 + sinx).
Differentieer je dit dan krijg te immers eerst 1/(1+sinx) en via de kettingregel wordt dit nog vermenigvuldigd met de afgeleide van (1 + sinx) zodat je dan precies die cosx uit de teller cadeau krijgt.
Het invullen van de grenzen zal wel geen probleem meer zijn.

Wat het laatste betreft: ik denk dat het aanleggen van een databank van proefwerken niet de taak is van een vraagbaakmedium wat wij proberen te zijn. De individuele opleidingen zijn hiervoor de eerst verantwoordelijken, denk ik. Maar wie weet wat de toekomst nog eens biedt!

MBL
19-6-2002