WisFaq!

Land verdelen

Voor wiskunde moeten we een groepswerk maken over pythagoras en 1 van de vragen luidt:

• Op een oude prent zijn een paar goudzoekers in heftige discussie gewikkeld over hun "claims". Elke claim heeft de vorm van een rechthoekige driehoek. Er zijn er geen 2 met dezelfde maten bij, maar in oppervlakte zijn ze allemaal gelijk: 3360 vierkante voet. Een driehoek heeft rechthoekszijden van 140 en 48 en een schuine zijde van 148. Een tweede heeft zijden van 80 en 84 en een schuine van 116.

Kunnen jullie me vertellen wat de maten van de derde rechthoekige driehoek zijn, als we er vanuit gaan dat de oppervlakte gelijk is aan de oppervlakte van de andere 2 rechthoekige driehoeken en de zijden ook in natuurlijke maatgetallen uitgedrukt worden.

nicolas
18-4-2005

Antwoord

Het gaat er dus om dat je een rechthoekige driehoek vindt waarvan de drie zijden "mooi uitkomen", geheel, zijn en waarvan de oppervlakte 3360 is.
Zoals je weet is de oppervlakte van een rechthoekige driehoek gelijk aan het halve product van de rechthoekszijden.
Een manier om aan rechthoekige driehoeken te komen is de volgende:
Kies 2 getallen p en q met 0qp.
Bereken dan:
2pq, p²-q² en p²+q². Deze getallen vormen dan de zijden van een rechthoekige driehoek.
Bijvoorbeeld: p=2 en q=1 levert: 2pq=4, p²-q²=4-1=3 en p²+q²=4+1=5.
Kies je p=10 en q=4 dan krijg je: 2pq=80, p²-q²=100-16=84 en p²+q²=100+16=116. Dat is een van de twee driehoeken die je al hebt gegeven. Bij de andere hoort p=12 en q=2.

De rechthoekszijden van de driehoek worden geleverd door de getallen pq en p²-q².
De oppervlakte is dus gelijk aan pq(p²-q²)=pq(p+q)(p-q).
Nu is 3360=2.2.2.2.2.3.5.7.
Dus wil de oppervlakte 3360 zijn dan moeten of p, of q of p+q of p-q deelbaar zijn door 7. Verder kun je misschien nog wel meer voorwaarden bedenken.
Ik denk dat het nu niet moeilijk meer is de p en q die bij de derde driehoek horen te vinden, en dus de zijden van die rechthoekige driehoek....

hk
19-4-2005