WisFaq!

Vraagstuk

De vraag:

In een klein bos staan 4000 aangeplante bomen. Elk jaar kapt men 20% van de bomen en plant men er 1000 nieuwe.

a) stellen we het aantal jaren voor door n, dan vormt het aantal bomen een rij u n. Geef een recursief voorschrift van deze rij.
Hierbij dacht ik aan: u n= 0.8* u(n-1) + 1000
b) Geef een expliciet voorschrift van deze rij.
Hierbij dacht ik aan: u n= 4000*0.8(n-1) +1000
maar dit komt niet overeen met : u n= 5000-1000*0.8n
Waar zit ik dan fout?

N bedankje!

An
18-4-2005

Antwoord

Het recursieve voorschrift is juist, natuurlijk mits vermelding van de beginvoorwaarde u(0)=4000. Het expliciete voorschrift kan je op een "reken"-manier vinden maar ook op een "redeneer"-manier.

u(n)
= 0.8 u(n-1) + 1000
= 0.8 (0.8 u(n-2) + 1000) + 1000
= 0.8² u(n-2) + (1+0.8)1000
= 0.8² (0.8 u(n-2) + 1000) + (1+0.8)1000
= 0.8³ u(n-3) + (1+0.8+0.8²)1000

Wat komt er te staan als je verder werkt naar u(0) toe?

cl
18-4-2005