WisFaq!

Discriminant en lichaamsuitbreidingen

Hallo wisfaq,

Zij K een lichaam en f in K[x] van graad n met ontbinding f=product[x-a_i], i=1 t/m n, en f in K'[x] (K' aflsuiting van K).Ik wil bewijzen dat de discriminant van f,
D=product[(a_i-a_j)^2], 1=ij=n,
een element van K is.

Groeten,
Viky

viky
15-4-2005

Antwoord

Dag Viky,

Wat denk je van volgende redenering:
Noem L het lichaam ontstaan uit K door toevoeging van de wortels a_i van f.
De Galoisgroep G van deze uitbreiding bestaat uit allemaal automorfismen s die deze n nulpunten permuteren, maar die heel K vast laten liggen.

Laat nu eens zo een s inwerken op je discriminant D. Zie je in dat s(D)=D? Als je dat niet meteen ziet kan het helpen om de definite van D in woorden te geven.

Elke s laat D invariant, dus moet D in K liggen, immers K is de verzameling van elementen die invariant zijn onder elke s uit G.

Groetjes,
Christophe.

Christophe
15-4-2005