WisFaq!

Stochastische variabelen

Ik ondervind problemen met de volgende opgaven:

(1)
Stel de kansverdeling op van de stochastische variabele X= aantal jongens in een gezien van vier kinderen. Hoe groot is de kans dat er minstens 2 jongens zijn? Minstens 3 meisjes?

Zelf had ik gedacht:
Minstens 2 jongens= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
Met P(X=0)= 2^4=16

De juiste oplossing blijkt: (1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)= 1/16 Hoe komt men hier precies bij?

Dan blijkt: P(X=1)= C⁴ ₁ * (1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)= 4/16
Kan iemand ook dat me verduidelijken?

(2)
Een vaas bevat 2 witte en 3 rode knikkers. An, Bob en Chris nemen in die volgorde een knikker en leggen die terug. De eerste die een witte knikker trekt wint 100BEF. Welke gemiddelde winst mogen An, Bob en Chris bij dit spel verwachten?

Ik dacht: aangezien de knikker steeds wordt teruggelegd heeft iedereen een kans van 2/5 om eeb witte knikker te nemen. Four gedacht dus want de juiste oplossing is moet zijn:

P(An int)=2/5
P(Bob wint)=3/5.2/5= 6/25
P(Chris wint)=3/5.3/5.2/5=18/125

Hoe kan dat toch? En wat is dan precies het verschil als men zonder teruglegging werkt?

Kan iemand me dit alles verduidelijke aub?

Alvast bedankt!

Veerle
14-4-2005

Antwoord

Beste Veerle,

1) Als X het aantal jongens is dan lijkt de kans op minstens 2 jongens me P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) en niet P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)...

Totaal aantal mogelijkheden is 2⁴ (J/M)^(4 kinderen).

P(0 jongens) = 4C0 = 1 (inderdaad, de enige manier is dat allevier de kinderen meisjes zijn)
P(X=1) = 4C1
P(X=2) = 4C2...

Dus P(X2) = 4C2/16 + 4C3/16 + 4C4/16 = 11/16.
Ben je zeker dat de juiste oplossing 1/16 is... Voor minstens 2 jongens?!

Voor de meisjes verloopt het analoog.

2) Je maakt een denkfout door te zeggen dat de kansen even groot zijn. Het trekken gebeurt immers in die specifieke volgorde, en de eerste die juist trekt wint.
Bob komt dus pas aan de beurt als an het fout heeft. De kans dan Bob juist trekt is dus P(An verliest)*P(Bob trekt wit) = 3/5 * 2/5
Voor Chris moeten zowel An als Bob eerst verloren hebben.

Zonder teruglegging werkt het iets anders... Vermits het spel stopt wanneer de eerste witte knikker getrokken is verloopt het als volgt.
- P(An wint) = 2/5 (spel gedaan)
- P(An verliest) = 3/5
= P(Bob wint) = P(An verliest)*P(Bob trekt wit) = 3/5 * 2/4 (er zijn nog maar 4 ballen nu!)
enz...

mvg,
Tom

td
14-4-2005