WisFaq!

Positief definiet

Help me!!!
Als ik een matrix heb [a,transpose(b);b,A], positief difiniet,
waarin a=scalar, b=vector en A=matrix.
Hoe bewijs ik dat zowel a als A positief difiniet moeten zijn?

Stefan Kraaij
14-4-2005

Antwoord

Noem de volledige matrix C.
C is positief definiet, dus x^TCx 0 voor elke x verschillend van de nulvector.

Dit geldt voor elke x, dus ook voor x=(1,0,0,...,0). Als je dan x^TCx uitrekent, kom je uit op a, vandaar dat a0 moet zijn.

Doe nu eens hetzelfde voor de vector x=(0,x₂,x₃,...,x_n). Zie je in dat dan x^TCx hetzelfde zal zijn als y^TAy met y=(x₂,x₃,...,x_n). Als je er niet van overtuigd bent, schrijf het dan eens uit voor n=3. Of probeer het heel algemeen te bewijzen door x^TCx en y^TAy uit te schrijven met sommaties.

Daarmee is dan alles bewezen, want er is nu gebleken dat y^TAy 0 voor een willekeurige, van nul verschillende vector y.

Groeten,

Christophe
14-4-2005