WisFaq!

Binomium van newton en driehoek van pascal

Hallo,

Hoe bewijs ik met behulp van volledige inductie dat er een verband is tussen het binomium van Newton en de driehoek van pascal? Ik hoop dat U mij kunt helpen...

Groetjes Hanneke

Hanneke
13-4-2005

Antwoord

De getallen in de driehoek van Pascal kunnen we als volgt definieren.
Noem het k-de getal op de n-de rij D(n,k).
Dan geldt:
D(n,k)=1 als k=0 of als k=n.
D(n+1,k)=D(n,k-1)+D(n,k) als 1kn.
Hieruit volgt bijvoorbeeld dat D(2,1)=D(0,1)+D(1,1)=1+1=2.

De coefficienten in het binomium van Newton kunnen we als volgt definieren:
Noem P(n,k) de coefficient van a^n-kb^k in de ontwikkeling van (a+b)ⁿ
Dan geldt
P(n,k)=1 als k=0 of k=n.
P(n,k)=n!/(k!(n-k!)) als 1kn-1
Voor P(2,1) krijgen we dus 2!/(1!1!)=2. Dit is hetzelfde getal als D(2,1).
Dus geldt D(2,k)=P(2,k) voor 0k2.
Nemen we nu aan dat P(n,k)=D(n,k) voor zekere n en voor alle k met 0kn.
We willen nu bewijzen dat dan ook P(n+1,k)=D(n+1,k)
Genoeg is dan om te bewijzen dat geldt:
P(n+1,k)=P(n,k-1)+P(n,k).
P(n,k-1)=n!/((k-1)!(n-k+1)!)=k*n!/(k!(n-k+1)!)
P(n,k)=n!/(k!(n-k)!)=(n-k+1)*n!/(k!(n-k+1)!).
Dus P(n+1,k)=(k+n-k+1)*n!/(k!(n-k+1)!)=(n+1)!/(k!(n+1-k)!, waarmee het bewijs is geleverd.

hk
14-4-2005