WisFaq!

Galoisgroep

Hallo wisfaq,

Ik heb enkele vragen over het bewijs van de volgende uitspraak:
Voor ieder irreducibel polynoom f=(x^3)-k in Q[x] (Q ratio nale getallen) geldt dat Gal(f) isomorf is met S_3.
Bewijs
Voor f=x^3-k construeren we het ontbindingslichaam L van f over Q.Als L een deellichaam is van C (complexe getallen) met een reele derdemachtswortel k^(1/3) een een primitieve derde eenheidswortel z_3 in C (z_n=e^(2*pi*i/n)),dan geldt ;
L=Q(z,k^(1/3)) en x^3-k heeht nulpunten a1=k^(1/3), a2=z_3*k^(1/3) en a3=(z_3)^2*k^(1/3).
Er geldt dat Q bevat is in M=Q(k^(1/3)) en M is bevat in L.Er geldt [L:Q]=[L:M]*[M:Q]=3*2=6.
VRAAG1.waarom is [L:M]=3 en [M:Q]=2?

Omdat [L:Q]=6 geldt dat #Gal(f)=6.
Gal(L/Q) is dus isomorf met een ondergroep van S_3 met 6 elementen.Dat is dus S_3 zelf.
VRAAG2.Waarom is Gal(L/Q) isomorf met een ondergroep van de S_3?

Vriendelijke groeten,
Viky

viky
11-4-2005

Antwoord

Zoals in 21.15: als je aan eerst de reele derdemachtswortel uit k toevoegt, is dit duidelijk een derdegraadsuitbreiding. Dan moet je die z_3 nog toevoegen, en die heeft minimaalpolynoom X²+X+1, dus is dit een tweedegraadsuitbreiding. Samen: graad 6, dus de galoisgroep bestaat uit 6 elementen.

Anderzijds is een element van de galoisgroep volledig gedefinieerd door de inwerking op de nulpunten van het minimaalpolynoom X³-k. Er zijn drie zulke nulpunten, en een element van de galoisgroep zal telkens een nulpunt naar een nulpunt sturen. Een element van de galoisgroep PERMUTEERT dus de drie nulpunten, dus elk element van de galoisgroep zal een element van S₃ zijn.

Nog meer uitgeschreven: wat zijn de mogelijkheden voor de elementen van de galoisgroep? Noem de drie nulpunten van f even a, b en c:
- a vast, b vast, c vast
- a vast, b naar c, c naar b
- b vast, a naar c, c naar a
- c vast, a naar b, b naar a
- a naar b, b naar c, c naar a
- a naar c, c naar b, b naar a.

Dit wordt dus bedoeld met de zin "De galoisgroep Gal(f) is via zijn werking op de nulpunten van f een ondergroep van S₃"

Conclusie: Gal(L/) is een deelgroep van S₃, en bevat 6 elementen, dus is Gal(L/) isomorf met S₃.

Groeten,
Christophe.

Christophe
11-4-2005