WisFaq!

Differentieerbaar in een punt waar afgeleide limiet heeft

functie f is continu op [a,b], differentieerbaar op (a,b) behalve eventueel in een punt x°. De afgeleide van f heeft een limiet in x°. Bewijs dat f differentieerbaar is in x° en dat de afgeleide continu is op het interval.

Shmulik
11-4-2005

Antwoord

Hallo Shmulik,

Je vraag komt op het volgende neer. Je hebt een functie f die overal differentieerbaar is behalve misschien in het punt x = a.
Wel weet je dat de limiet van f'(x) voor x naar a bestaat en gelijk is aan, zeg, c.
Neem verder aan dat f continu is in a. (Dat heb je er niet bij gezegd. Maar dat is natuurlijk nodig, anders kan f zeker niet differentieerbaar zijn. Neem bv f(x) = 0 als x ‚ a en f(a) = 1. Dan bestaat lim f'(x) voor x naar a, maar f is niet differentieerbaar in a.)
Dan kun je bewijzen dat f diffbaar is in a en f'(a) = c.
Dat gaat het eenvoudigst mbv de zg middenwaarde stelling, die zegt: als f differntieerbaar is in het open interval (u, v) en continu in de eindpunten u en v dan is er een w tussen u en v, zó dat ( f(v) - f(u))/ (v - u) = f'(w).
Immers daarmee:( f(a +h) - f(a))/ h = f'( a+ ph), met p tussen 0 en 1, en dit gaat volgens onze gegevens naar c als h naar 0 gaat.
Daar mee is dan ook aangetoond dat f' continu is in a, want limiet f'(x) voor c naar a is gelijk aan c = f'(a).
Ik hoop dat je nu verder kunt.
Met vriendelijke groet

JCS
15-4-2005