WisFaq!

Re: Galoisuitbreiding

Hoi,

Het betreft opgave 14 op pagina 52 van de cursus.
Ik denk dat "Omdat c_n in K is s(c_n)=c_n == s(som[c_n*a^n)])=s(f(a))=s(0)=0 " fout is en ook niet nodig.Ik weet eigenlijke niet meer goed waarom ik dat zo heb opgeschreven.
Als ik het goed begrijp is jouw uitwerking gewoon datgene wat aangetoond moet worden, dus dat som[f(s(a))]=0, en dus dat s(a) een nulpunt van f is.

Ik heb nog een vraag over de conclusie van het bewijs:Ik heb van iemand begrepen dat de conclusie moet zijn:
s wordt uniek bepaald door s(a), dus het aantal nulpunten van f is gelijk aan #G, want voor elke s in G heb zo'n nulplaat.
deg(f)=#G en f=product[x-s(a)], over alle s in G.
Maar ik begrijp de redenering eigenlijk niet goed.


Groetjes,
Viky

viky
10-4-2005

Antwoord

Hi Viky,

Die uitwerking toont inderdaad aan dat s(a) een nulpunt is van f, dus f(s(a))=0. Daar moet echter geen som meer staan, die som kwam enkel voor daar waar er een n staat. En die åc_naⁿ wordt dan vervangen door f(a).

En deze uitwerking geldt voor elke s uit G, dus elke s(a) is een nulpunt van f.

Dan die conclusie:
- s wordt uniek bepaald door s(a)? Ja, want s moet heel K laten liggen, en elk element van K(a) kan je schrijven als machtreeks in a, dus als åd_naⁿ. Wat is s hiervan? Dat is åd_n(s(a))ⁿ. Dus als je s(a) kent, kan je s van eender welk element bepalen. Vandaar de uitspraak: s wordt uniek bepaald door s(a).
- f moet duidelijk als nulpunten s(a) hebben voor elke s uit G. Dus f bevat al zeker de factoren (x-s(a)) voor elke s uit G. En meer moet dat niet zijn: door je stellingen 1 en 2 weet je dat f juist als graad het aantal elementen van G moet hebben. En Õ(x-s_i(a)) is monisch, dus het kan niet anders dan dat deze polynoom je minimaalpolynoom f is...

Groeten,
Christophe.

Christophe
11-4-2005