WisFaq!

Cirkels en cirkelbundels

Geg.: l : x - 2y + 4 = 0
l snijdt de x-as in A en de y-as in B.

Stel de vgl op v/d bundel van alle cirkels die l in B raken.

Ik ben met deze opgave inmiddels alweer uren bezig geweest, maar kom er niet uit. Ik heb:

cirkels moeten l raken in B = l raken in B(0,2) =
Voor de middelpunten v/d cirkels geldt dan:

l : 2y = x + 4 = l : y = (1/2)x + 2
middelpunten op: k : y = -2x + 2

Algemeen heb ik gemerkt dat ik niet een cirkelbundel kan noteren waarvan de middelpunten op een gegeven lijn liggen.

Hoe nu verder?

Maikel
10-4-2005

Antwoord

Beste Maikel,

Je hebt het inderdaad bij het rechte eind dat alle middelpunten op k: y = -2x + 2 moeten liggen.

De standaardvergelijking van een cirkel met middelpunt (a,b) en straal r is (x-a)²+(y-b)² = r²

Als we nu de x-coördinaat van het middelpunt vast houden (dit is a), dan kunnen we via de vergelijking van de rechte k de bijbehorende y-coördinaat berekenen.
y = -2x + 2 met x = a = y = -2a + 2 = dit is dus b.
Het middelpunt M wordt nu volledig bepaald door zijn x-coördinaat: M(a,2-2a)

De vergelijking is nu: (x-a)²+(y-(2-2a))² = r²

De straal wordt echter ook volledig bepaald door de keuze van ons middelpunt. De straal moet immers gelijk zijn aan de afstand van het middelpunt tot het snijpunt met de y-as, het punt B(0,2).

Voor de afstand (d) tussen 2 punten P(x,y) en Q(u,v) heb je de formule: d(P,Q) = Ö((x-u)²+(y-v)²)

In ons geval de afstand tussen M en B:
r = Ö((0-a)²+(2-(2-2a))²) = Ö(a²+(2a)²) = Ö(5a²) = Ö5|a|.
Nu hebben we ook onze straal in functie van a, er is dus nog maar één onbekende in de vergelijking van de cirkel.

Voor de volledigheid kunnen we deze even omdopen tot parameter l en we vinden:

(x-l)²+(y-(2-2l))² = (Ö5|l|)²
Voor elke waarde van l vind je nu een cirkel die raakt in B aan l.

mvg,
Tom

td
10-4-2005