WisFaq!

Enkele probleemgevallen

Ik heb nog wat problemen met de volgende integralen:

(1)
$\int{}$dx/(x³+1)

Ik splitste eerst op in partieelbrueken en bekwam:
1/(x³+1) = ¹/₃(1/(x+1)) + ((-1/3)x+²/₃)/(x²-x+1)

De integraal wordt dan:
=¹/₃ln|x+1|+ ¹/₃$\int{}$(-x+2)/(x²-x+1)

$\int{}$(-x+2)/(x²-x+1) kunnen we opsplitsen:

-x/((x-¹/₂)²+²/₃) + 2/((x-¹/₂)²+²/₃)

zodat de integraal wordt:

=¹/₃ln|x+1|+ (4√3)/9Bgtan((2x-1)/(√3)) - ¹/₃$\int{}$x/((x-¹/₂)²+²/₃) dx

Wat kan ik met deze laatste integraal aanvangen?

Ik probeerde bv u=(x-¹/₂² maar dat leverde niks op... ?


(2)
Bereken de booglengte van de lus van de kromme met als vergelijking y²=(x(3-x)²)/9

Ik probeerde:
y= √x(3-x)/3
f'(x)= 1/2√x - ¹/₂√x
Dus de lengte van de boog voor x=0 tot x=3

l=$\int{}$(3-$>$0) √1+(1/2√x - ¹/₂√x)²dx
=$\int{}$√(1/4x + ¹/₄x+¹/₂dx
Deze wortel is bijna een kwadraat van 1/2√x + ¹/₂ ?

Hoe kan ik deze integraal het best uitwerken, ik blijf 'sukkelen met wortels...'

(3)
$\int{}$x√(8+4x+x²)dx , stel: x=u-2

Hier weet ik echt niet hoe ik er aan moet beginnen...
als x=u-2 dan is dx=du?
Kan iemand me een tip geven zodat ik verder kan aub?

Alvast bedankt voor de hulp!

Groetjes

Veerle
9-4-2005

Antwoord

Beste Veerle,

1) We blijven dus zitten bij de integraal:
$\int{}$(2-x)/(x²-x+1)

Veeltermen van deze vorm zijn altijd te integreren m.b.v. een ln en een Bgtan.

De afgeleide van de noemer is 2x-1. Dit kunnen we als volgt in de teller knutselen:
$\int{}$(2-x)/(x²-x+1) dx = -¹/₂$\int{}$(2x-4)/(x²-x+1) dx = -¹/₂$\int{}$(2x-1 -3)/(x²-x+1) dx

Splits nu zo op:
-¹/₂$\int{}$(2x-1 -3)/(x²-x+1) dx = -¹/₂$\int{}$(2x-1)/(x²-x+1) dx +(3/2)$\int{}$dx/(x²-x+1)
Bij die eerste heb je nu de teller afgeleide van de noemer, dus ln van de noemer. De tweede kan je een substitutie op toepassen of via handig knutselwerk omvormen naar iets waar je een Bgtan uit kan krijgen.
Dit heb ik ooit uitgewerkt voor een zeer gelijkaardige integraal, zie Kan ik deze breuk splitsen?.

2) Die afgeleide is, als je hem op gelijke noemer brengt: (1-x)/(2√x)

-$>$ kwadrateren: (1-x)²/(4x)
-$>$ 1 bijtellen: (x+1)²/(4x)
-$>$ wortel trekken: (x+1)/(2√x)

Dat is weer eenvoudig te integreren

Let wel dat toen je de vierkantswortel van de opgave nam, je de positieve hebt gekozen: hiermee krijg je slechts één deel van de lus! Het is natuurlijk niet nodig de negatieve wortel ook te integreren vermits de lus symmetrisch is t.o.v. de x-as. Je moet je resultaat dus wel vermenigvuldigen met 2 om de lenge van de volledige lus te krijgen.

3) Als je x = u-2 neemt dan is dx inderdaad gelijk aan du. Onder de wortel gebeurt er wel wat...
(u-2)² + 4(u-2) + 8 = u²-4u+4 + 4u-8 +8 = u²+4

mvg,
Tom

td
9-4-2005