WisFaq!

Re: Partiële integratie en goniometrische substitutie

(1)
De substitutie is ok maar dan...
Ik bekom dan inderdaad ook òÖ(1-u²)
Zoals je aanraadde heb ik dan gon.subst toegepast:
u=sint
du=costdt
Ö(1-u²)=cost
Dan wordt de integraal= òcost
Via het 'driehoekje' wordt dit dan opnieuw:
òÖ(1-u²)

Ik draai hierbij dus rond de pot... ? Wat doe ik nog steeds fout?

(2)
Dat was inderdaad een (erg stomme) omweg van me maar uiteindelijk bekwam ik hetzelfde hoor nl:

=(1/64)tan²(t/2) + (1/16)ln|tan(t/2)| 1/(64tan²(t/2)) + c

En met behulp van de formule tan(t/2)=(1-cost)/sint en de driehoekjes:

=(1/64)((2-Ö(4-x²))/x)²+ (1/16)ln|(2-Ö(4-x²))/x| - (1/64)(x/(2-Ö(4-x²))²+c

Om even na te kijken of dit misschien hetzelfde zou kunnen zijn als de juiste oplossing: (-1/8)(Ö(4-x2)/x2) + (1/16)ln|(Ö(4-x2)-2)/x| Heb ik beide antwoorden uitgezet op een grafiek en ze blijken wel degelijk verschillend....

Dus toch nog ergens fout?

Veerle
8-4-2005

Antwoord

Beste Veerle,

1) Als du = cost dt en u = sint dan krijg je toch:
òÖ(1-sin²t) cost dt = òcos²t dt ?

Gebruik dan dat cos²t = (1+cos(2t))/2 om dit integreren, en ná integratie natuurlijk pas terug substitueren.

2) Waarschijnlijk zit je fout dan ergens in de uitwerking.
Misschien kan je beter eerst wat vereenvoudigen direct na de integratie vooraleer terug te substitueren. Bijvoorbeeld:

(1/32)*(z²/2 + 2*ln|z| - 1/(2z²)) = lnz/16 + (1/64)*(z²-1/z²) = lnz/16 + ((z⁴-1)/z²)/64

Nu kan je misschien eerst even apart de substituties vereenvoudigen.
z = tan(t/2) en 2cost = Ö(4-x²) = t = bgcos((Ö(4-x²))/2)

We hebben dus, om van z direct terug naar x te gaan:
z = tan(bgcos((Ö(4-x²))/2)/2)

Dit kan je met behulp van die formule voor een halve hoek van een tangens en wat driehoekjes vereenvoudigen.

mvg,
Tom

td
8-4-2005