WisFaq!

Galoisuitbreiding

Hallo wisfaq,

Zij K bevat in K(a) een Galoisuitbreiding met groep G.Het minimumpolynoom van a over K, notatie f(a,Q) is dan gelijk is aan f=f(a,Q)=product[x-a_i], over alle s in G.
Ik heb enkele vragen over het bewijs van deze uitspraak:
Bewijs
Volgens stelling 1 (onderaan):deg(f)=[K(a):K].
Volgens stelling 2(onderaan):#G=[K(a):K], dus we hebben dat #G=deg(f).
f(a,Q) is het min polyn van a over K, dus a is een nulpunt.We schrijven nu
f(a,Q)=som[c_n*x^n], van n=0 t/m deg(f), en c_n in K
(Alle sommen gaan van n=0 t/m deg(f)),nu hebben we,
f(s(a))=som[c_n*(s(a))^n]
=som[s(c_n*a^n)]
vraag1.Waarom is som[s(c_n*a^n)] gelijk aan som[c_n*(s(a))^n]?
Omdat c_n in K is s(c_n)=c_n=s(som[c_n*a^n)])=s(f(a))=s(0)=0
vraag2.Waarom is c_n=s(som[c_n*a^n)])
Dus s(a) is een nulpunt van f voor iedere s in G.
vraag3.Waarom is dit zo?
s wordt uniek bepaald door s(a), dus het aantal nulpunten van f is gelijk aan #G, want voor elke s in G heb zo'n nulplaat.
deg(f)=#G en f=product[x-s(a)], over alle s in G.

Stelling1.Als a algebraisch is over K, dan is er een uniek monsich irreducibel polynoom f=f(a,Q) in K[x] dat a als nulpunt heeft.In dit geval is er een isomorfisme
K[x]/(f)-K[a]=K(a) en deg(f)=[K(a):K].

Stelling2.Zij K bevat in L een eindige Galoisuitbreiding met Galoisgroep G.Dan geldt:
De uitbreiding K bevat in L in normaal en seperabel.De Galoisgroep G is eindig van orde [L:K] en gelijk aan G=gal(L/K)=Aut_K(L).

Vriendelijke groeten,
viky

viky
8-4-2005

Antwoord

Hallo Viky,

Eigenlijk hebben je drie vragen betrekking op een en dezelfde uitwerking:

f(s(a))
= c_n(s(a))ⁿ wegens de definitie van f (hier staat dus eigenlijk een som voor n gaande van 0 tot degf)
= c_ns(aⁿ)
= s(c_n)s(aⁿ)
= s(c_naⁿ)
= s(f(a))
= s(0)
= 0

Wat werd hierin allemaal gebruikt? Wel, s is een automorfisme en voldoet dus aan de eigenschap s(ab)=s(a)s(b). Dat werd gebruikt in
(s(a))ⁿ = s(a)s(a)...s(a) = s(aa...a)=s(aⁿ)
en ook in
s(c_naⁿ)=s(c_n)s(aⁿ).
Bovendien is s een K-automorfisme, dus s houdt elementen van K op hun plaats, vandaar dat s(c_n)=c_n, en ook s(0)=0.

Dit zou jouw vraag1 moeten beantwoorden. Vraag3 is dan duidelijk, want ik heb getypt: f(s(a)) = ... = 0, dat betekent toch niks anders dan dat s(a) een nulpunt is van f?

En dan vraag2: je typt
"Omdat c_n in K is s(c_n)=c_n == s(som[c_n*a^n)])=s(f(a))=s(0)=0
vraag2.Waarom is c_n=s(som[c_n*a^n)])"

Dat gelijkheidsteken dat ik heb verdubbeld, staat dat echt zo in je cursus? Want dat lijkt me zeer sterk...

Groeten,
Christophe.

Christophe
8-4-2005