WisFaq!

Partiële integratie en goniometrische substitutie

Ik weet niet goed wat ik met de volgende oefeningen moet aanvangen:

(1)
òxBgsinxdx oplossen m.b.v. partiële integratie
Ik probeerde:

= Bgsinx. x²/2.- (1/2)òx². 1/Ö(1-x²)
Hoe kan deze laatste zonder goniometrisdche substitutie oplossen??

De juiste oplossing moet zijn:
(2x²-1)/4 Bgsinx + (1/4)xÖ(1-x²) + c

(2)
òdx/(x^3.Ö(4-x²))

Ik deed het volgende:
x=2sint
dx=2costdt
- Ö(4-x²)=2vost

Na vereenvoudigen kreeg ik:
=(1/8)òdt/sin^3t

stel tan(t/2)=z dan is sint=2z/(1+z²) en dt=2dz/(1+z²)

Dan wordt de integraal(na vereenvoudiging):

=(1/32)ò(z^4+2z²+1)dz/z^3

De graad van de teller is groter dan de noemer dus deling geeft:
=(1/32)ò(z+(2z²+1)/z^3)dz
=(1/64)z² + (1/32)ò(2z²+1)dz/z^3)

Dit laatste plitste ik op in partieelbreuken:

= (1/64)z² + (1/32)ò(2/z+1z^3)dz
=(1/64)z²+(1/16)ln|z|- (1/64z²)+c
=(1/64)tan²(t/2)+(1/16)ln|tan(t/2)|- (1/64tan²(t/2))+c

Gebruikmakend van deze formule tan(t/2)=(1-cost)/sint en van een driehoekje bekwam ik:

= (1/64)((2-Ö(4-x²))/x) + (1/16)ln|(2-Ö(4-x²))/x| - (1/64)(x/(2-Ö(4-x²)) + c

Helaas blijktde juiste oplossing iets heel anders te zijn:
= (-1/8)(Ö(4-x²)/x²) + (1/16)ln|(Ö(4-x²)-2)/x|

Wat deed ik precies fout?

Groetjes

Veerle
7-4-2005

Antwoord

Beste Veerle,

1) Je zit dus vast bij de deze integraal? òx²/Ö(1-x²) dx
Persoonlijk zou ik het met deze substitutie aanpakken:

Stel y = Ö(1-x²) = x = Ö(1-y²) = dx = -y/Ö(1-y²) dy

De integraal wordt dan: òÖ(1-y²) dy

Waarom zou je dit per se zonder goniometrische substitutie? Dat lijkt me hier anders perfect...

2) Ik volg nog volledig je redenering tot aan deze stap:
(1/32)ò(z⁴+2z²+1)/z³ dz

Dan is het me niet helemaal duidelijk wat je doet, je gebruikt ook splitsen in partiële breuken? Je hebt een veelterm in de teller en een eenterm in de noemer: je kan de breuk toch splitsen in 3 afzonderlijke termen, en dus integralen?

ò(z⁴+2z²+1)/z³ dz
= òz dz + 2òdz/z + òdz/z³
= z²/2 + 2*ln|z| - 1/(2z²) (+C)

Terug substitueren via z = tan(t/2) en via t = Bgcos(Ö(4-x²)/2).

Dan gebruik maken van die 'driehoekjes' (Pythagoras en sos/cas/toa) om het te vereenvoudigen.

mvg,
Tom

td
7-4-2005