WisFaq!

Integralen

Zijn deze 2 uitkomsten gelijk?

1/10 ln ((cost+5)/(cost-5)) +c
en
-1/10 ln (cost-5) + 1/10 (ln cost+5) +c

Kim
7-4-2005

Antwoord

Beste Kim,
Je wilt dus aantonen dat:
1/10 ln (cos(t+5)/cos(t-5)) +c = -1/10 ln cos(t-5) + 1/10 ln cos(t+5) +c

Beide kanten staat '+c' dus die kunnen we 'wegstrepen':
1/10 ln (cos(t+5)/cos(t-5))= -1/10 ln cos(t-5) + 1/10 ln cos(t+5)

De rechterkant is te herschrijven naar:
1/10 (ln cos(t+5) - ln cos(t-5))

En dus mogen we ook de 1/10 wegstrepen, blijft over:
ln (cos(t+5)/cos(t-5))= ln cos(t+5) - ln cos(t-5)

Mocht je gebruik nu maken van de regel log(x)-log(y) = log(x/y) dan ben je klaar, anders gaan we gewoon verder met:

Algemeen geldt:
ln(x)=y = x = e^y

Dus in ons geval waar x = cos(t+5)/cos(t-5) en y = ln cos(t+5) - ln cos(t-5) kunnen we stellen:
cos(t+5)/cos(t-5) = e^{ln cos(t+5) - ln cos(t-5)}

De rechterkant is te herschrijven naar:
e^{ln cos(t+5)}·e^{-ln cos(t-5)}

Wat weer the herschrijven is naar:
e^{ln cos(t+5)}·(e^{ln cos(t-5)})^-1

En omdat algemeen geldt: e^ln(x)=x
Valt de rechterkant dus te herschrijven naar:
cos(t+5)·cos(t-5)^-1
Wat weer gelijk is aan (gebruik makend van algemene regel a^-1=1/a):
cos(t+5)·1/cos(t-5)
Ofwel:
cos(t+5)/cos(t-5)

Wat precies is wat we wilde aantonen.

M.v.g.
Peter Stikker

PHS
7-4-2005