WisFaq!

Re: Reeks

De reeksontwikkeling van een functie valt op de rand van de convergentieschijf dus niet altijd samen met de functie.
Hoe moet ik me 1/1+x als x = 1 als een reeksontwikkeling voorstellen? Ik kan het niet anders zien dan als een functie.
De invalshoek om een reeksontwikkeling te zien als een gebeuren binnen een convergentieschijf is voor mij nieuw, maar het heeft me wel nieuwgierig gemaakt om te proberen het te doorzien.

yara
7-4-2005

Antwoord

Daar betreed je de theorie van de machtreeksen.
Een machtreeks is een reeks van de vorm i=0..$\infty\sum$a_n(z-a)ⁱ Men zegt: ' een machtreeks rond a met coëfficiënten a_n'

Men definieert de convergentiestraal van een machtreeks door
R=1/(limsup(|a_n|^1/n)

Men kan bewijzen dat als z-a$<$R dat de machtreeks dan convergeert (zelfs absoluut)
Als z-a$>$R dan is de reeks divergent.
En als z-a=R dan kan er theoretisch niets beslist worden...

Nu die definitie van die R lijkt misschien nogal vreemd. Misschien ken je het begrip limsup nog niet. Er is een andere karakterisatie (die is echter niet altijd gedefinieerd, maar wel in jouw voorbeeld).

Er geldt namelijk dat R=lim n-$>\infty$ |a_n/a_n+1| als deze limiet bestaat.

Een functie die analytisch is op een open schijf met middelpunt a en straal R is te schrijven als een machtreeks rond a, maar een machtreeks is niet altijd overal convergent. Ze is slechts convergent binnen een schijf met straal (minstens) R.

Persoonlijk denk ik dat het allemaal een beetje buiten je leerstofgebied valt, dus ik zou er mij niet al te veel zorgen over maken...

Koen

km
7-4-2005