WisFaq!

Inverse functie

Ik wil graag de inverse functie bepalen van de volgende functie (het probleem zit in het feit dat er meer dan 1 x term in voor komt)

f(x)= x/(9.81-0.0567x²)

Andre
6-4-2005

Antwoord

De inverse van een functie is alleen gedefinieerd als de functie stijgend of dalend is (dit geen voldoende voorwaarde overigens; zie het eind van dit antwoord).
Ik neem aan dat dat bij die functie inderdaad het geval is (controle met f'(x)...).

De grafiek van de inverse functie f^inv van f vinden we door de grafiek van f te spiegelen in de lijn y = x.
Merk overigens op dat f(0) = 0! Dus ook moet gelden: f^inv(0) = 0.
Om de uitkomsten wat schrijfbaar te houden heb ik een kleine wijziging aangebracht in de constanten.
Schrijven we y = x/(10 - 0,05x²) dan moet de inverse functie dus voldoen aan:
x = y/(10 - 0,05y²)
of
-0,05x·y² - y + 10x = 0
Let wel, als we deze vergelijking naar y oplossen mag x niet gelijk zijn aan 0.
Maar voor x bijna 0 moet gelden y bijna 0 (zie de grafiek van f).
Inderdaad vinden we nu twee mogelijke voorschriften voor y (we hebben immers een kwadratische functie in y):

y = (-10 + 10Ö(1+2x²))/x
y = (-10 - 10Ö(1+2x²))/x

Ga na, dat de tweede oplossing voor kleine x (zeg x 0,01) een 'grote' waarde van y (y -2000) oplevert.
DUS:
f^inv(x) = (-10 + 10Ö(1+2x²))/x voor x ¹ 0
f^inv(0) = 0

Overigens, uit het feit dat je twee waarden van y vindt, moge blijken dat de functie eigenlijk niet inverteerbaar is.
Ga zelf na welk deel van f nu via f^inv geïnverteerd is!

dk
6-4-2005